烟台芝罘区数学椭圆常考题目解题方法及练习2016高三专题复习-解析几何专题(2)

【烟台芝罘区一中十中校区】明老师1烟台芝罘区数学椭圆常考题目解题方法及练习2016高三专题复习-解析几何专题（2）第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义:平面内与两定点21FF、距离和等于常数a2(大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距c2.椭圆的几何性质:以012222babyax为例1.范围:由标准方程可知，椭圆上点的坐标yx,都适合不等式1,12222byax，即byax,说明椭圆位于直线ax和by所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2.对称性:关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：.,0B,0B0,0,2121bbaAaA、、、4.长轴、短轴：21AA叫椭圆的长轴，aaAA,221是长半轴长；21BB叫椭圆的短轴，bbBB,221是短半轴长.5.离心率（1）椭圆焦距与长轴的比ace，10,0eca（2）22FOBRt,2222222OFOBFB，即222cba.这是椭圆的特征三角形，并且22cosBOF的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e接近于1时，c越接近于a，从而22cab越小，椭圆越扁；当e接近于0时，c越接近于0，从而22cab越大，椭圆越接近圆。【烟台芝罘区一中十中校区】明老师26.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），ab22.7.设21FF、为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，当21FFP、、三点不在同一直线上时，21FFP、、构成了一个三角形——焦点三角形.依椭圆的定义知：cFFaPFPF2,22121.（二）运用的知识点及公式1、两条直线111222:,:lykxblykxb垂直：则121kk；两条直线垂直，则直线所在的向量120vv2、韦达定理：若一元二次方程20(0)axbxca有两个不同的根12,xx，则1212,bcxxxxaa。3、中点坐标公式：1212,y22xxyyx，其中,xy是点1122(,)(,)AxyBxy，的中点坐标。4、弦长公式：若点1122(,)(,)AxyBxy，在直线(0)ykxbk上，则1122ykxbykxb，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx221212(1)[()4]kxxxx或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk2121221(1)[()4]yyyyk。【烟台芝罘区一中十中校区】明老师3第二部分：椭圆常考题型解题方法典例一、椭圆定义相关题目例1、已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围．解：由,35,03,05kkkk得53k，且4k．∴满足条件的k的取值范围是53k，且4k．说明：本题易出现如下错解：由,03,05kk得53k，故k的取值范围是53k．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0ba这个条件，当ba时，并不表示椭圆．例2、已知1cossin22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围．解：方程可化为1cos1sin122yx．因为焦点在y轴上，所以0sin1cos1．因此0sin且1tan从而)43,2(．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin1，0cos1，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在y轴上，知cos12a，sin12b．(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0．例3、以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．【烟台芝罘区一中十中校区】明老师4分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须用点直线对称就可解决．解：如图所示，焦点为031，F，032，F．F的坐标为（－9，6），直线2FF的方程为032yx．解方程组09032yxyx得交点M的坐标为（－5，4）．所求椭圆的长轴：562221FFMFMFa，∴53a，又3c，∴3635322222cab．因此，所求椭圆的方程为1364522yx．二、椭圆与直线的位置关系及弦长相关题目例4、已知椭圆1422yx及直线mxy．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx．【烟台芝罘区一中十中校区】明老师5020161542222mmm，解得2525m．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx．根据弦长公式得：51025145211222mm．解得0m．方程为xy．说明：对比直线与椭圆和直线与圆的位置关系问题及有关弦长问题的解题方法？．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．例5、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．1348]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF1，nBF1，则mAF122，nBF122．在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m．同理在21FBF中，【烟台芝罘区一中十中校区】明老师6用余弦定理得346n，所以1348nmAB．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标．再根据焦半径11exaAF，21exaBF，从而求出11BFAFAB．三、轨迹方程相关题目例6、已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx．例7、已知椭圆1222yx，（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；【烟台芝罘区一中十中校区】明老师7（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为11yxM，，22yxN，，线段MN的中点yxR，，则（1）将21x，21y代入⑤，得212121xxyy，（2）故所求直线方程为：0342yx．⑥将⑥代入椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，0342yx为所求．（2）将22121xxyy代入⑤得所求轨迹方程为：04yx．（椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入⑤得所求轨迹方程为：022222yxyx．（椭圆内部分）【烟台芝罘区一中十中校区】明老师8（4）由①＋②得：2222212221yyxx，⑦，将③④平方并整理得212222124xxxxx，⑧，212222124yyyyy，⑨将⑧⑨代入⑦得：224424212212yyyxxx，⑩再将212121xxyy代入⑩式得：221242212212xxyxxx，即12122yx．例8、知圆122yx，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹．解：1422yx．说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，具体做法：首先设动点的坐标为),(yx，设已知轨迹上的点的坐标为),(00yx，然后根据题目要求，使x，y与0x，0y建立等式关系，从而由这些等式关系求出0x和0y代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程，化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．【烟台芝罘区一中十中校区】明老师9例9、已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程．分析：“设而不求”法解：方法一：设所求直线方程为)4(2xky．代入椭圆方程，整理036)24(4)24(8)14(222kxkkxk①设直线与椭圆的交点为),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x是①的两根，∴14)24(8221kkkxx∵)2,4(P为AB中点，∴14)24(424221kkkxx，21k．∴所求直线方程为082yx．方法二：（点差法）设直线与椭圆交点),(11yxA，),(22yxB．∵)2,4(P为AB中点，∴821xx，421yy．又∵A，B在椭圆上，∴3642121yx，3642222yx两式相减得0)(4)(22212221yyxx，即0))((4))((21212121yyyyxxxx．∴21)(4)(21212121yyxxxxyy．∴直线方程为082yx．方法三：（数形结合）设所求直线与椭圆的一个交点为),(yxA，另一个交点)4,8(yxB．∵A、B在椭圆上，∴36422yx①。36)4(4)8(22yx②【烟台芝罘区一中十中校区】明老师10从而A，B在方程①－②的图形082yx上，而过A、B的直线只有一条，∴直线方程为082yx．说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．四、探索问题及其他例10、已知椭圆13422yxC：，试确定m的取值范围，使得对于直线mxyl4：，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线lAB；(2)弦AB的中点M在l上．利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围．解：(法1)设椭圆上),(11yxA，),(22yxB两点关于直线l对称，直线AB与l交于),(00yxM点．∵l的斜率4lk，∴设直线AB的方程为nxy41．由方程组,134,4122yxnxy消去y得0481681322nnxx①。∴13821nxx．于是1342210nxxx，13124100nnxy，即点M的坐标为)1312,134(nn．∵点M在直线mxy4上，【烟台芝罘区一中十中校