磁场中的“动态问题”和“磁聚焦”问题

专题突破(八)磁场中的“动态问题”和“磁聚焦”问题一、磁场中的动态圆在本章中，经常会遇到这样两类问题，第一类是同样的粒子从磁场边界(如左边界)上某一点射入匀强磁场中时，磁场右边无限宽广，入射方向不变，但速度大小(或磁场磁感应强度大小)发生改变，根据qvB＝mv2R可知R＝mvqB，在v或B发生改变时，半径会发生变化，但由于入射方向不变，根据半径跟速度垂直知粒子轨迹的圆心都落在过入射点与入射速度垂直的直线上，相当于圆心在同一直线上的圆的放缩，如图甲，它们从磁场左边界射出时，速度方向互相平行，在磁场中转过的角度相等．第二类是粒子入射速度大小不变，但方向发生变化，同时磁感应强度不变，可知这种情况下，粒子的轨迹半径不变，圆心位于以入射点为圆心，以轨迹半径为半径的圆上，相当于一个固定大小的轨迹圆绕着入射点在旋转，如图乙．例1边长为3L的正方形区域分成相等的三部分，左右两侧为匀强磁场，中间区域为匀强电场，如图所示．左侧磁场的磁感应强度大小为B1＝6mqU2qL，方向垂直纸面向外；右侧磁场的磁感应强度大小为B2＝6mqUqL，方向垂直于纸面向里；中间区域电场方向与正方形区域的上下边界平行．一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从平行金属板的正极板开始由静止被加速，加速电压为U，加速后粒子从a点进入左侧磁场，又从距正方形上下边界等间距的b点沿与电场平行的方向进入电场，不计粒子重力，求：(1)粒子经过平行金属板加速后的速度大小；(2)粒子在左侧磁场区域内运动时的半径及运动时间；(3)电场强度E的取值在什么范围内时粒子能从右侧磁场的上边缘cd间离开？【解析】(1)粒子在电场中运动时qU＝12mv2解得v＝2qUm(2)粒子进入磁场B1后qvB1＝mv2R1解得R1＝mvqB1＝2L3设粒子在磁场B1中转过的角度为α，由sinα＝LR1，解得α＝60°周期T＝2πR1v粒子在磁场B1中运动的时间为t＝16T＝πL32m3qU(3)粒子在磁场B2中运动，在上边缘cd间离开的速度分别为vn与vm，与之相对应的半径分别为Rn与Rm.由分析知Rn＝34LRm＝L由牛顿第二定律qvnB2＝mv2nRn粒子在电场中qEnL＝12mv2n－12mv2解得En＝11U16L同理Em＝2UL所以电场强度的范围为11U16L≤E≤2UL.例2如图甲所示，A、B为水平放置的间距d＝0.2m的两块足够大的平行金属板，两板间有电场强度为E＝0.1V/m、方向由B指向A的匀强电场．一喷枪从A、B板的中央点P向各个方向均匀地喷出初速度大小均为v0＝10m/s的带电微粒．已知微粒的质量均为m＝1.0×10－5kg、电荷量均为q＝－1.0×10－3C，不计微粒间的相互作用及空气阻力的影响，取g＝10m/s2.求：(1)从P点水平喷出的微粒打在极板时的水平位移x；(2)要使所有微粒从P点喷出后均做直线运动，应将板间的电场调节为E′，求E′的大小和方向；在此情况下，从喷枪刚开始喷出微粒计时，求经t0＝0.02s时两板上有微粒击中区域的面积和；(3)在满足第(2)问中的所有微粒从P点喷出后均做直线运动情况下，在两板间加垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝1T．求B板被微粒打中的区域长度．【解析】(1)微粒在匀强电场做类平抛运动，微粒的加速度：a＝Eq＋mgm根据运动学：d2＝12at2水平位移x＝v0t解得：x＝1m(2)要使微粒做直线运动，电场应反向，且有：qE′＝mgE′＝mgq＝0.1V/m＝E故电场应该调节为方向向下，大小不变经t0＝0.02s时，微粒运动的位移s＝v0t极板上被微粒击中区域为半径为r的圆，其中r2＝s2－(d2)2S＝2πr2＝0.06πm2(3)微粒做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力：qvB＝mv2RR＝mvqB＝0.1m竖直向下射出的微粒打在B板的左端恰好与B板相切，如图甲所示：d1＝0.1m当粒子源和B板右边击中点距离为直径时距离最远：如图乙所示：d2＝310m故B板被微粒打中的区域的长度都为3＋110m.【归纳总结】不论是“放缩圆”还是“旋转圆”，解决问题的关键是仔细审题，找出临界条件，作出轨迹图，根据几何关系和物理原理列方程求解．二、磁聚焦问题一束带电粒子以平行相等的初速度垂直射入圆形匀强磁场，若粒子的轨迹半径等于磁场圆的半径，这些粒子会经过与初速度方向平行的磁场圆切线的切点．如图甲(磁聚焦)．反过来，若速度大小相等的一束带电粒子从圆形匀强磁场边界上同一点沿不同方向垂直射入圆形匀强磁场，若粒子的轨迹半径等于圆形磁场的半径，所有粒子会平行地离开磁场且与磁场圆在该点的切线平行，如图乙(磁发散)．例3放置在坐标原点O的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子，带电粒子的速率均为v，方向均在纸面内，如图所示．若在某区域内存在垂直于xOy平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B，则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x轴放置的挡板PQ上，求：(1)挡板PQ的最小长度；(2)磁场区域的最小面积．【解析】(1)设粒子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得qvB＝mv2R，即R＝mvBq如图所示，初速度沿x轴负方向的粒子沿弧OA运动到挡板PQ上的M点，初速度沿y轴正方向的粒子沿弧OB运动到挡板PQ上的N点，由几何知识可得MN＝R＝mvBq故挡板PQ的最小长度为mvBq.(2)设圆弧OA圆心为C，沿与x轴负向成任意角θ射入的粒子到E点时速度平行x轴，圆弧OE对应的圆心为D，则由几何知识可知四边形OCED为菱形，即E点在以C为圆心的圆上，即所有粒子射出磁场的位置均在以C为圆心的圆周上，所以最小磁场区域是以C为圆心、R为半径的圆的一部分，即图中OAEBO包围的面积，有Smin＝34πR2＋R2－14πR2＝(π2＋1)(mvBq)2.一、多选题1．如图所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有一磁感应强度大小B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外．O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m，电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内．已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界中飞出的粒子经历的时间为T12，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为T4.不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则()A．粒子的射入磁场的速度大小v＝2qBamB．粒子圆周运动的半径r＝2aC．长方形区域的边长满足关系ba＝3＋1D．长方形区域的边长满足关系ba＝2ABC【解析】设粒子的速度大小为v，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由磁场对粒子的洛伦兹力提供，则由qvB＝mv2r，解得v＝qBrm粒子在匀强磁场中的运动时间为t＝sv.由于各个粒子的电量、质量和粒子的速度的大小都相同，所以各个粒子在磁场中的轨道半径的大小为定值，粒子在磁场中所对应的轨迹的弧长越长，粒子在磁场中的运动时间越长；粒子在磁场中所对应的轨迹的弧长越短，粒子在磁场中的运动时间越短．不妨假设匀强磁场充满整个空间，画出粒子在磁场中的轨迹如图1所示，由图2可知：沿着y轴正方向的粒子最先从磁场上边界中飞出，设该粒子在磁场中的轨迹所对的圆心角为θ1，由题意得：θ1360°T＝T12，解得：θ1＝30°，如图所示，由几何关系可得：rsin30°＝a，可解得：r＝2a、v＝2qBam，答案AB正确；如图3所示，当粒子的运动轨迹和磁场的上边界相切时，粒子在磁场中运动轨迹所对应的弧长最长，在磁场中的运动时间最长，设该种情况下粒子的轨迹所对应的圆心角为θ2，则：θ2360°T＝T4，解得：θ2＝90°.设∠MO2O＝θ3、∠MO2D＝θ4，则：θ3＋θ4＝90°.由几何关系可得：rcosθ3＝r－a，即：2acosθ3＝2a－a＝a，则：θ3＝60°、θ4＝30°.由几何关系进一步可得：b＝rsinθ3＋rsinθ4，即：b＝2asin60°＋2asin30°＝3a＋a，所以长方形区域的边长满足关系ba＝3＋1，C项正确，D项错误．二、计算题2．在如图所示的同心圆环形区域内有垂直于圆环面的匀强磁场，磁场的方向如图，两同心圆的半径分别为R0、2R0.将一个质量为m(不计重力)，电荷量为＋q的粒子通过一个电压为U的电场加速后从P点沿内圆的切线进入环形磁场区域．欲使粒子始终在磁场中运动，求匀强磁场的磁感应强度大小的范围．【解析】粒子经过电场加速，由动能定理qU＝12mv2v＝2qUm磁感应强度最大时，粒子轨迹与内环重合Rmin＝R0qvBmax＝mv2Rmin解得：Bmax＝2qUmqR0Rmax＝2R0＋R02qvBmin＝mv2Rmax解得：Bmin＝22qUm3qR0磁感应强度的大小范围：22qUm3qR0≤B≤2qUmqR0.3．如图所示，在直角坐标系中y0的范围内有垂直于坐标平面向内且范围足够长的匀强磁场．在y轴上S点(0，d)处有一粒子源，向坐标平面内各个方向等概率的发射速率均为v的带电粒子，粒子电量均为－q，质量均为m.已知速度沿＋y方向的带电粒子恰好不会离开磁场．不计粒子重力，求：(1)磁感应强度的大小；(2)粒子从x轴上出射的区域范围；(3)能离开磁场的粒子个数与粒子源发射粒子总数的比值．【解析】(1)粒子运动轨迹如圆1所示，由图知r＝d又qvB＝mv2r，联立得B＝mvqd(2)如图圆2和圆3中A和B点分别对应粒子从x轴上出射的右端点和左端点图中SA＝2r，故OA＝SA2－OS2得OA＝3d由圆3得OB＝d故粒子从x轴上的出射范围为－d＜x≤3d(－d≤x≤3d亦可)(3)介于圆1和圆3之间的粒子可以离开磁场，由图可知圆1对应粒子的入射速度沿＋y方向圆3对应粒子的入射速度与＋y方向夹角为180°，故所求比值为180°－0360°＝12.4．如图所示，在长度足够长、宽度d＝5cm的区域MNPQ内，有垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度B＝0.33T．水平边界MN上方存在范围足够大的竖直向上的匀强电场，电场强度E＝200N/C.现有大量质量m＝6.6×10—27kg、电荷量q＝3.2×10—19C的带负电的粒子，同时从边界PQ上的O点沿纸面向各个方向射入磁场，射入时的速度大小均为v＝1.6×106m/s，不计粒子的重力和粒子间的相互作用．求：(1)求带电粒子在磁场中运动的半径r；(2)求与x轴负方向成60°角射入的粒子在电场中运动的时间t；(3)当从MN边界上最左边射出的粒子离开磁场时，求此时仍在磁场中的粒子的初速度方向与x轴正方向的夹角范围，并写出此时这些粒子所在位置构成的图形的曲线方程(要求表达出x、y坐标的取值范围)．【解析】(1)由牛顿第二定律有qvB＝mv2r解得r＝0.1m(2)粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系知，在磁场中运动的圆心角为30°，粒子平行于电场强度方向进入电场粒子在电场中运动的加速度a＝qEm粒子在电场中运动的时间t＝2va解得t＝3.3×10－4s(3)如图所示，由几何关系可知，从MN边界上最左边射出的粒子在磁场中运动的圆心角为60°，圆心角小于60°的粒子已经从磁场中射出，仍在磁场中的粒子此时刻运动轨迹的圆心角均为60°.则仍在磁场中的粒子的初速度方向与x轴正方向的夹角范围为30°～60°所有粒子此时分布在以O点为圆心，弦长0.1m为半径的圆周上曲线方程为x2＋y2＝R2(R＝0.1m，320mx0.1m，0y0.05m)