6 函数一致连续定义

第6讲一致连续函数0000:,0,,|:,,0|fERxExExxfxfxxE定义1(函设：()-()则称函数在集合数逐逐点连续)点连续.1()(1)(0,1],(2)[1,2].fxxxx例分析在的:连续性0000011(0,1],|()()|(1)xxxfxfxxxxx解2100010,min{2,2}()xxxx取既与有关又与有关01020||:|()()|2xxfxfxx当00000||,222xxxxxxx当：0020|()()|2xxfxfxx函数一致连续定义00000011[1,2],|()()|(2)xxxfxfxxxxxxx002020,,||:|,()()|xxfxfxx0021000100,120201,21,min{2,2}inf,02,,inf,xxxxxxxx两个例题的分析：，212212120,,,1,2||:|()()|xxxxfxfx对于：体现了一致性函数一致连续定义121212:0,,,,||:|()()|20.fERxxExxfxfxfE设称定义函数在上一一连续致连续致0000,:,0,0,,||:fERxExxExxfxfxE设()-()则称函数定义1(函数逐点连续在集合逐)点连续.00:0,0,,,|||()(3)|fERstEstfsftfE设：称在定义函数不一致连续上不一致连续.00,inf,0xEx函数一致连续定义00*:10,,,,|||()()|nnnnnnnnfERstEstfsftnnN函数不一致连续：：设：函数一致连续定义00:0,0,,,|||()()|.3fERstEstfsft设定义不一致连：：续002*:10,,,,|||()()|nnnnnnnnfERstEstfsftnnN设：：函数不一致连续：1x2x012121200,0,,,||:|()()|.xxxxfxfx12|()()|fxfx0函数一致连续定义函数一致连续的定义2sinyx1cosxyex函数一致连续的定义123.证明：首先证明必要性''''''''':,,lim||0,lim0.nnnnnnnnfERfExxExxfxfx在上一致连续的充分必要条件是满足理：定，'''''''''*,lim||0,|,:|nnnnnnnxxExxNNnxxN，根据极限的定义1212120,0,,,:|()()|||,xxExxxffx'''nnfxfx所以：函数一致连续定义'''lim0.nnnfxfx因此n:,,,lim||0lim0.nnnnnnnfERstEstfsft推论设函数不一致连续的充分必要条件：0010,,,,|||()()|1,2,3,nnnnnnnnstEstfsftnn用反证法证明.如果不一致连续,则：,lim||0lim0nnnnnnnnstEstfsft存在，：函数一致连续定义下面证明充分性与已知条件矛盾,结论得证.函数一致连续定义德国数学家海涅(E.Heine)于1870年提出了函数一致连续性概念.函数的一致连续性概念在微积分发展进程中起到关键作用,如同函数极限的提出一样.在后续课程中关于各种积分计算问题和函数项级数收敛问题中这一概念起着重要的作用.函数一致连续典型例题()sin(sin()).fxxR例1讨论在上一致连续性121212|sin(sin())sin(sin())||sin()sin()|||xxxxxx因为解：121212120,,,,||,|sin(sin())sin(sin())|||=()sin(sin()=).xxRxxxxxxfxxR令则对于任意的有所以在上一致连续12121212|()()|xxfxfxxxxx解：1212xxxx易见，所以12121212()()xxfxfxxxxx21212112212120,,,0,||.xxxxxxxx取对当时，总有函数一致连续典型例题()[0,)例2讨论在上一致连续性.fxx一致连续函数一致连续典型例题221()()()211(2)122lim()()0nnnnnfsftnnnnnnfsft20,.x在上不一致连续2()0,.fxx例3讨论在上一致连续性111,,,lim022nnnnnnnsntnststnnn解：n:,,,lim||0lim0nnnnnnnfERfxEstEstfsft定理设在上不一致连续的充分必要条件：：函数一致连续典型例题2()sinfxxR例4讨论在上一致连续性.(1),22nnnnst解取：(1)20,()22(1)22nnnnstnnnn22sinsin1.nnst而()fxR所以在上不一致连续n:,,,lim||0lim0nnnnnnnfERfxEstEstfsft设在上不一致连续的充分必：定要条件：理函数一致连续典型例题,123/fxgxIfxgxIfxgxIfxgxI探索题目：下面结论是否成立：设定义在集合上一致连续在集合上一致连续在集合上一致连续在集合上一致连续