6 多元函数微积分-空间解析几何2

4.二次曲面讨论的方法一般是：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状。这种方法叫做截痕法。三元一次方程的图形是一个平面，称为一次曲面。由一个三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。例13:求球心在点M0(x0,y0,z0),半径为R的球面方程。解:设球面上一点为M(x,y,z)，那么|MM0|R。由两点间距离公式化简得球面方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2特别是当球心为原点,即x0y0z00时，球面方程为x2y2z2R2球面上半部方程为球面下半部方程为222000xxyyzzR222zRxy222zRxyzyx1)球面ozyx1222222czbyax椭球面与三个坐标面的交线：,012222yczax.012222xczby,012222zbyax2)椭球面椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆1zz同理与平面和的交线也是椭圆.1xx1yy12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz||1椭球面的几种特殊情况：,)1(ba1222222czayax旋转椭球面12222czax由椭圆绕轴旋转而成．z旋转椭球面与椭球面的区别：122222czayx方程可写为与平面的交线为圆.1zz)||(1cz.)(12122222zzzccayx截面上圆的方程：,)2(cba1222222azayax球面.2222azyx方程可写为zqypx2222（与同号）pq用截痕法讨论：(1)用坐标面与曲面相截截得一点，)0(zxoy即坐标原点)0,0,0(O设0,0qp,原点也叫椭圆抛物面的顶点.3)椭圆抛物面与平面的交线为椭圆.1zz11212122zzqzypzx当z1变动时,这种椭圆的中心都在z轴上.)0(1z与平面不相交.1zz)0(1z与平面的交线为抛物线:1yy121222yyqyzpx它的轴平行于z轴顶点qyy2,,0211(3)用坐标面，与曲面相截)0(xyoz1xx均可得抛物线.同理当时可类似讨论.0,0qp(2)用坐标面与曲面相截截得抛物线:)0(yxoz022ypzxzxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：0,0qp0,0qp特殊地：当时，方程变为:qpzpypx2222旋转抛物面)0(p（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）xozpzx2211222zzpzyx与平面的交线为圆:1zz)0(1z当z1变动时,这种圆的中心都在z轴上.例14:作zx2y2的图形。解:用平面zc截曲面zx2y2,其截痕方程为x2y2c，zc当c0时，只有一点原点。当c0时，其截痕为圆。c越大，截痕的圆也越大。当c0时，无截痕。若用平面xa或yb去截曲面,其截痕均为抛物线。此图形称为旋转抛物面。zqypx2222（与同号）pq用截痕法讨论：设0,0qp图形如下：xyzo4)双曲抛物面（马鞍面）例15:作zy2x2的图形。解:用平面zc截曲面zy2x2，其截痕方程为y2x2c，zc当c0时，其截痕为两条相交于原点的直线，方程为yx0；yx0当c0时，截痕为双曲线。用平面yc截曲面zy2x2其截痕为开口向下的抛物线，方程为zc2x2，yc用平面xc截曲面zy2x2其截痕为开口向上的抛物线，方程为zy2c2，xc这个曲面称为双曲抛物面，又称马鞍面。马鞍面简图的画法（一）选择坐标系（二）画截痕（三）添辅助线yzx22,022xyzpqpq双曲抛物面（马鞍面）是直纹面含两个直母线系单叶双曲面1222222czbyax5)双曲面双叶双曲面1222222czbyaxxyozxyo与平面的交线为椭圆.1zz当z1变动时,这种椭圆的中心都在z轴上.122122221zzczbyax(1)用坐标面与曲面相截)0(zxoy截得中心在原点的椭圆:)0,0,0(O012222zbyax单叶双曲面1222222czbyax122122221yybyczax双曲线的中心都在轴上.y与平面的交线为双曲线:1yy)(1by(2)用坐标面与曲面相截)0(yxoz截得中心在原点的双曲线:012222yczax实轴与轴相合，虚轴与轴相合.xz单叶双曲面1222222czbyax,0byczax.0byczax,)4(1by截痕为一对相交于点的直线.)0,,0(b,0byczax.0byczax,)3(1by截痕为一对相交于点的直线.)0,,0(b,)1(221byx实轴与轴平行,z虚轴与轴平行.,)2(221byz实轴与轴平行,x虚轴与轴平行.平面的截痕是两对相交直线.ax(3)用坐标面，与曲面相截均可得双曲线.)0(xyoz1xx单叶双曲面1222222czbyax单叶双曲面是直纹面含两个直母线系直纹面在建筑学上有意义例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。有腰身的竹篮双叶双曲面1222222czbyax双曲面的渐近锥面,即:双曲面和锥面任意接近。思考题识别曲面的类型1.yx2抛物柱面识别曲面的类型（最好能画出草图）1.9y2z2162.z4x2y23.y2z2x24.x2y24z210xyzxyzxyzxyz思考题识别曲面的类型（最好能画出草图）5.z2x2y216.9x24y22z2367.xz2y28.xy2z2xyzxyzxyzxyz思考题