信号与系统课后习题与解答第二章

2-1对图2-1所示电路分别列写求电压)(0tv的微分方程表示。)(1ti)(2ti1F1Ω1H2H2Ω)(te+-)(tvo（a）+-（c）+-C)(1tv)(ti1R+-)(1tv1L1C)(tvo+-)(te-+CLLCRR)(tvo+-MR（c）)(te-++-)(1tvCR)(tvo+-)(1tv+-（d）图2-1解（a）对于图2-1（a）所示电路列写网孔电流方程，得ttttvidiitedididttdii)()()()()()()()(202122111又dttditv)(2)(20消元可得如下微分方程：)(3)(5)(5)(200022033tvtvdtdtvdtdtvdtd=2)(tedtd（b）对于图2-1（b）所示的双耦合电路，列写电路微分方程，得)()(0)()()()(1)()()()()(10221221211tvtRitRidttdiMdttdiLdiCtetRidttdiMdttdiLdiCtt消元可得如下微分方程：)()(1)(2)(2)(2)()(22020022203304422tedtdMRtvCtvdtdCRtvdtdRRLtvdtdRLtvdtdML（c）对于图2-1（c）所示电路列写电路方程，得)()()(1)()()()(10101011tvtvdtdCdttvLRtvRtvtvdtdCtit消元可得如下微分方程：)()(1)(1)()(101011022110331tidtdRtvRLtvdtdRRLCtvdtdRCRCtvdtdCC（d）对图2-1（d）所示电路列写电路方程，电流)(ti如图2-2所示，得)()()()()()()()(1)(1011tvtvtetvtRitetvdiCtRit消元可得如下微分方程：)(te-++-)(1tvCR)(tvo+-)(1tv+-图2-2)(ti)()(1)()1(00teRtvRtvdtdC2-2图2-3所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为1m，荷载舱质量为2m，两者之间用钢度系数为k的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分别为1f和2f。求火箭推进力)(te与荷载舱运动速度)(2tv之间的微分方程表示。图2-3k摩擦系数：摩擦系数：1f2f火箭质量荷载舱质量1m2m输入：推进力输出：荷载舱速度)(te)(2tv解设1m的速度为)(1tv，1m，2m的受力情况如图2-4所示。图2-4)(1tv1m)(11tvfkF)(te)(2tv2mkF')(22tvf由题可知kF与kF'大小相等，均为dvvkt)]()([21。对1m，可建立如下方程：dttdvmdvvktvftet)()]()([)()(112111①对2m，可建立如下方程：dttdvmtvfdvvkt)()()]()([222221②由式②得)()()()(22221221tvdtdkmtvdtdkftvtv③将式③代入①式，并整理可得)()()()()()(21221212212121222211212332temmktvmmkfftvdtdmmmmkfftvdtdmmfmfmtvdtd2-3已知系统响应的齐次方程及其对应的0状态条件，求系统的零输入响应。（1）0)(2)(2)(22trtrdtdtrdtd给定：2)0(',1)0(rr（2）0)()(2)(22trtrdtdtrdtd给定：2)0(',1)0(rr（3）0)()(2)(2233trdtdtrdtdtrdtd给定：1)0(,0)0(')0(rrr解(1)系统的特征方程为0222特征根为jj1,121因而零输入响应的形式为)0()sincos()(21ttAtAetrtzi将)0(r和)0('r的值代入求出常数3121AA要求的零输入响应)0()sin3(cos)(tttetrtzi（2）系统的特征方程为0122特征根为12,1因而零输入响应的形式为)0()()(21tteAeAtrttzi将)0(r和)0('r的值代入求出常数3121AA要求的零输入响应)0()13()(tettrtzi（3）系统的特征方程为0223特征根为1,03,21因而零输入响应的形式为)0()()(321tteAeAAtrttzi将)0(r和)0('r的值代入求出常数111321AAA要求的零输入响应)0()1(1)(tettrtzi2-4给定系统微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下三种情况：（1）)()(,0)0(),()(2)(tutertetrtrdtd（2）)()(,0)0(),(3)(2)(tutertedtdtrtrdtd（3）)()(,1)0(',,1)0(),()(4)(3)(222tuterrtedtdtrtrdtdtrdtd试判断在起始点是否发生跳变，据此对（1）、（2）分别写出其)0(r值，对（3）写出)0(r和)0('r值。分析当系统用微分方程表示时，系统的0状态到0状态有没有跳变，取决于微分方程右端是否包含)(t及其各阶导数。解（1）将)()(tute代入原方程，得)()(2)(tutrtrdtd可见方程右端不包含)(t及其导数项，因而)(tr在t=0处连续，即0)0()0(rr（2）将)()(tute代入原方程，得)(3)(2)(ttrtrdtd可见方程右端包含)(t，因而)(tr在t=0处有跳变。用冲激函数匹配法确定)0(r。由于方程右端存在)(3t，所以左端的)(trdtd必定含)(3t，从而)(tr在t=0时)(3tu刻有存在，)(tu表示0到0单位跳变函数，即3)0(3)0(3)0()0(rrrr亦即（3）将)()(tute代入原方程，得)()(4)(3)(222ttrtrdtdtrdtd①可见方程右端包含)(t，因而)(tr在t=0处有跳变。设)()()(22tubtatrdtd②则有)()(tuatrdtd③)()(tuattr④将②、③、④式代入式①，有)()(4)(3)(2)(2ttuattuatubta从而得21a于是23)0('21)0('rr1)0()0(rr2-5给定系统微分方程)(3)()()(2)(2233tetedtdtrdtdtrdtdtrdtd若激励信号和起始状态为以下二种情况：（1）2)0(',1)0(),()(rrtute（2）2)0(',1)0(),()(3rrtuetet试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。解（1）先求零输入响应。由已知条件，有1)0(')0(2)0(')0('0)(2)('3)(zizizizizizizirrrrtrtrtr特征方程为0232特征根为2,121故ttzieAeAtr212)(，0t将)0('zir和)0(zir代入可求得3,421AA从而ttzieetr234)(，0t再求零状态响应。将)()(tute代入原微分方程，有)(3)()(2)('3)(tuttrtrtrzszszs①由于方程右端包含)(t，因而)()()()(')()()(tuattrtuatrtubtatrzszszs②将②式代入①式，由平衡方程两边)(t的系数，可得1a因而11)0(')0('zizirr0)0()0(zizirr下面用经典法求)(trzi。由所求得的特征根枝知，齐次解ttzsheBeBtr221)(，0t又由于1)(te，0t故设特解ptrzsp)(，0t将)(trzsp代到原方程中，有32p即23p，0t从而23)(221ttzseBeBtr，0t将0)0(zsr，0)0('zsr代入上式，可得21,221BB故23212)(2ttzseetr，0t从而全响应23252)()()(2ttzszieetrtrtr，0t其中自由响应：ttee2252，0t强迫响应：23（2）用经典法先求出全响应。首先用)(t函数平衡法确定)0(r和)0('r。将)(3tuet代入原方程，有)()(3)()(3)(2)('3)(33ttuettuetrtrtrtt③方程③右端包含)(t，因而)()(')()()(tuatrtubtatr④将式④代入式①，由平衡方程两边)(t的系数，可得1a因而31)0(')0('rr1)0()0(rr由于tete3)(，0t故设特解tpCetr3)(，0t将)(trp代入原微分方程，有03329933333tttttCeCeCeCeCe所以得0C因而0)(trp由第（1）小题知，齐次解ttheDeDtr221)(，0t因此全响应tthpeDeDtrtrtr221)()()(，0t将初始条件3)0(',1)0(rr代入上式，可得4,521DD故全响应tteDeDtr221)(，0t再求)(trzs。由于是同一个系统，且初始状态相同，所以此小题的)(trzi与第（1）小题的)(trzi相同，即ttzieetr234)(，0t因此ttttttzizseeeeeetrtrtr22243445)()()(全响应，0t在全响应)(tr中，没有与激励te3e相同的模式项，因此强迫响应为零，整个)(tr均为自由响应。2-6电路如图2-5所示，0t以前开关位于“1”，已进入稳态，0t时刻，1S与2S同时自“1”转至“2”，求输出电压)(0tv的完全响应，并指出其零输入响应、零状态、自由、强迫各响应分量（E和SI各位常量）C)(tvo图2-5SI+-ER1S2S1212解换路前，系统已进入稳态，因此Ev)0(0而换路后，由于电容两端电压不会发生突变，因而有Evv)0()0(00（1）根据电路形式，列写0t后的电路方程)()()(00teRtvdttdvC①其中)(te代表激励电流源，且)()(tuIteS（2）求系统的完全响应。齐次解：系统的特征方程01RC特征根RC1齐次解tRCohAetv1)(特解：由于0t时，SIte)(，因此令Btvop)(，代入式①，有SIRB所以RIBS因此完全响应StRCRIAetv10)(，0t将初始条件Ev)0(0代入上式，可得SRIEA所以完全响应StRCSRIeRIEtv10)(，0t（3）求零输入响应分量。由于零输入响应与系统方程的齐次解具有相同的模式，于是设tRCozsCetv1)(，0t将初始状态Ev)0(0代入上式，可得EC即tRCoziEetv1)(，0t从而tRCSSozseRIRItv1)(，0t其中自由响应分量：tRCSeRIE1，0t强迫响应分量:SRI，0t2-7如图