最全最实用的指数函数复习资料(精练+答案)

睿韬奥博高中数学资料一对一贴心辅导辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话：[phone]（杨老师）指数与指数函数【知识梳理】一、指数运算1、根式（1）概念：若nxa（Nnn且1），则称x为a的n次方根，“n”是方根的记号．（2）a的n次方根的性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根．①nnaa；②n为奇数，nna=a；n为偶数，nna=|a|=.0,,0,aaaa2、有理数指数幂（1）分数指数幂的意义：①)0(10Raaa且（注：00无意义）；②)1,,,0(*nNnmaaanmnm；③)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm．（2）指数幂的运算性质①(0,,)rsrsaaaarsR；②(0,,)rsrsaaaarsR；③(0,,)srrsaaarsR；④(,0,)rrrabababrR．二、指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．睿韬奥博高中数学资料一对一贴心辅导辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话：[phone]（杨老师）2、指数函数)1,0(aaayx的图象与性质图象0a1a1性质定义域：R．值域为：(0,+∞)．过定点：(0,1)，即x=0时，y=1．当0x时，10y；当0x时，1y．当0x时，1y；当0x时，10y．在R上单调递减．在R上单调递增．【典型例题】题型一、根式的化简、指数幂的运算例题1：化简：（1）77)2(；（2）44)3(；（3）44)2(a．【解析】（1）2)2(77；（2）3)3(44；（3）44)2(a=.2,2,2,2aaaa【点评】不注意n的奇偶性对式子nna的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用‘本题易错的是第（3）题，往往忽视a与2大小的讨论，造成错解．例题2：计算：（1）1011230.256102323；（2）33·33·63．【解析】（1）原式382032101234；（2）33·33·63=3·321·331·361=36131211=32=9．【点评】利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．变式1：化简：（1）)31()3)((656131212132bababa；（2）14623)(yxyx)0,0(yx；xOy=1(0,1)xOy=1(0,1)yy睿韬奥博高中数学资料一对一贴心辅导辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话：[phone]（杨老师）（3）526743642．【解析】（1）原式=)]31(÷3)([612132a653121baab990；（2）原式21121622)21(1)21(46)6(31yyxyxyx；（3）原式22223223)22()32()23(222．【点评】本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．变式2：若103x，104y，则210xy________．【解析】494310101010102222yxyxyx．【点评】本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用，将10x、10y看作一个整体，再进行代数运算．题型二、指数函数概念、定义域和值域例题3：下列函数中属于指数函数的有（）个．（1）xy32；（2）13xy；（3）xy)3(；（4）xy)31(；（5）23xy；（6）xy4；（7）xay)12(．A．2B．3C．4D．5【解析】选A．只有（4）（6）属于指数函数)1,0(aaayx的形式．【点评】在判断是否为指数函数时，应严格按照)1,0(aaayx的形式来判断，特别要注意函数中是否有表明a的取值范围．例题4：求下列函数的定义域和值域：（1）y241x；（2）y(32)||x；（3）y=ax-1(a0，a≠1)．【解析】（1）令x-4≠0，则x≠4，所以函数y=241x的定义域是｛x∈R∣x≠4｝，又因为41x≠0，所以241x≠1，即函数y=241x的值域是｛y|y0且y≠1｝．（2）因为-|x|≥0，所以只有x=0.因此函数y=(32)||x的定义域是｛x∣x=0｝．而y=(32)||x=(32)0=1，即函数y=(32)||x的值域是｛y∣y=1｝．（3）定义域为R，因为xay的值域为),0(，所以1xay的值域为),1(．睿韬奥博高中数学资料一对一贴心辅导辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话：[phone]（杨老师）【点评】由于指数函数y=ax,(a＞0且a≠1)的定义域是R，所以这类类似指数函数的函数的定义域和值域要借助指数函数的定义域来求，并利用好指数函数的单调性．例题5：如图，设a,b,c,d0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序【】A、abcdB、abdcC、badcD、bacd【解析】∵a1=a∴直线x=1与各函数图象交点的纵坐标为底数值，故badc，选C．【点评】由上述结果可知：当底数1时，指数函数底数越大，图象越靠近y轴；当0底数1时，指数函数底数越小，图象越靠近y轴．变式3：函数1)0,5(+aaayx恒过定点___________．【解析】因为y=ax过点（0，1），所以当x=0时，y=1+5=6，所以原函数过定点（0,6）．【点评】解决定点问题，关键是理解指数函数的定点．变式4：已知指数函数的图象过点（,3），（1）求(-3)，(1)，(0)fff的值；（2）利用图像比较三个函数值的大小．【解析】（1）设指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）因为图象过点（3,π），所以f(3)=a3=π，即a=π31，f(x)=(π31)x．再把0,1,3分别代入,得：f(0)=π0=1，f(1)=π1=π，f(-3)=π-1=1．（2）由图易知f(1)f(0)f(-3)．【点评】根据待定系数法求函数解析式，这是方程思想的运用．变式5：当a0时，函数yaxb和axby的图象只可能是（）ABCD【解析】选项A中一次函数1,0ba，指数函数应是减函数，故A对．选项B中一次函数1,0ba，指数函数应是增函数，故B错．选项C中一次函数1,0ba，指数函数应是减函数，故C错．1xyO1xyO1xyO1xyOy=dxy=cxy=bxy=axOyx睿韬奥博高中数学资料一对一贴心辅导辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话：[phone]（杨老师）选项D中一次函数1,0ba，指数函数应是增函数，故D错．故答案选A．【点评】利用一次函数和指数函数ba,的关系来确定图象，是本题的关键．题型三、解指数式方程、不等式例题6：解下列方程：（1）12321xx；（2）12122xx．【解析】（1）236612323112321xxxxxx；（2）34012122122xxxxxx或．【点评】解此类方程时，常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解．例题7：解下列不等式：（1）1614x；（2）14221xx．【解析】（1）410141614xxx（2）5114222211414xxxxxxx．【点评】解此类不等式时，常化为同底，再利用函数单调性求解．变式6：解下列方程：（1）273291xx；（2）2353252xx．【解析】（1）原方程化为2)3(x－6×3-x－27=0，∴(3-x＋3)(3-x－9)=0．∵3-x＋30，∴由3-x－9=0得3-x=32，故x=－2是原方程的解．（2）原方程化为0235)3(3222xx，0)23)(13(23xx，0)23(2x，0133x得133x，3x．【点评】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想，例如题（1），把x3看成未知数x，解得的一元二次方程的根等于x3，再解出最终结果；解得的结果一定要进行检验．题型四、指数函数性质的应用例题8：比较下列两个数的大小：（1）0.70.83,3；（2）0.1-0.10.75,0.75；（3）1.60.60.8,1.8；（4）32)31(,253．【解析】利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较：睿韬奥博高中数学资料一对一贴心辅导辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话：[phone]（杨老师）对（1）因为函数y=3x在R上是增函数，0.8＞0.7，所以30.830.7；对（2）因为函数y=0.75x在R上是减函数，0.1＞-0.1，所以0.75-0.10.750.1；对（3）由指数函数的性质知1.80.61.80=1=0.800.81.6，所以1.80.60.81.6；对（4）由指数函数的性质知(31)32(31)0=1=20253，所以(31)32253．【点评】首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较．若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量“1”，两个数都与这个中间量进行比较，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中间量法”．例题9：求函数232312xxy的单调区间和值域．【解析】令223132()24uxxx在3(,]2上递减，在3[,)2上递增，又uy312为减函数，所以232312xxy在3(,]2上递增，在3[,)2上递减，当23x时，44132312y为最大值，所以232312xxy的值域为]32,0(4．【点评】首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来判断单调区间．变式7：已知mxfx132)(是奇函数，求常数m的值．【解析】由)(xf是奇函数，得0)()(xfxf，即0132132mmxx，023132132mxxx，0231)13(2mxx，得1m．【点评】此题中函数的定义域为0x，所以不能利用0)0(f来求解，应利用奇函数的定义)()(xfxf求出m值．变式8：判断函数1212)(xxxf的单调性、奇偶性．【解析】任取Rxx21、，使21xx，)12)(12()22(212121212)()(2121221121xxxxxxxxxfxf，因为02x，所以0)12)(12(21xx，xy2为增函数，所以02221xx，所以0)()(21xfxf，所以)(xf在R上单调递增；睿韬奥博高中数学资料一对一贴心辅导辅导老师：杨老师睿韬奥博，孩子放飞梦想的起点；要辅导，首选睿韬奥博。报名电话：[phone]（杨老师）)