固体物理4-7

04_07_能态密度和费米面——能带理论§4.7能态密度和费密面1.能态密度函数固体中电子的能量由一些准连续的能级形成的能带能量在E~E+E之间的能态数目Z能态密度函数0()limEZNEEE04_07_能态密度和费米面——能带理论在k空间，根据E(k)=常数构成的面为等能面3)2(VdSdkVdVVZ33)2()2(由E和E+E围成的体积为V，状态在k空间是均匀分布的动量标度下的能态密度E~E+E之间的能态数目两个等能面间垂直距离K在K空间的状态密度为dk330332211)2(21VNvNbNbNb04_07_能态密度和费米面——能带理论能态密度3()2(2)kVdSNEEEdSVEZENk3)2()(考虑到电子的自旋，能态密度EdSVk3404_07_能态密度和费米面——能带理论1)自由电子的能态密度电子的能量在球面上k空间,等能面是半径的球面能态密度3/22222()(2)VmE04_07_能态密度和费米面——能带理论2)近自由电子的能态密度晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近等能面的变化二维正方格子第一布里渊区的等能面波矢接近布里渊区的A点，能量受到周期性的微扰而下降，等能面向边界凸现在A点到C点之间，等能面不再是完整的闭合面，而是分割在各个顶点附近的曲面04_07_能态密度和费米面——能带理论能态密度的变化随着k接近布里渊区，等能面不断向边界凸现，两个等能面之间的体积不断增大，能态密度将显著增大在A点到C点之间，等能面发生残缺，达到C点时，等能面缩成一个点,即能态密度不断减小直到为零EZENlim)(04_07_能态密度和费米面——能带理论第二布里渊区能态密度能量E越过第一布里渊区的A点，从B点开始能态密度由零迅速增大能带重叠能带不重叠04_07_能态密度和费米面——能带理论3)紧束缚模型的电子能态密度简单立方格子的s带等能面为球面k=0附近)coscos(cos2)(10akakakJEkEzyxs)(2)(222*2minzyxkkkmEkE随着E的增大，等能面与近自由电子的情况类似按泰勒级数展开212*2aJm能带底部电子的有效质量04_07_能态密度和费米面——能带理论32221()8(sinsinsin)xyzVdSNEaJkakaka等能面能态密度04_07_能态密度和费米面——能带理论X点k=(/a,0,0)的能量出现微商不连续的奇点即等能面与布里渊区相交带底当04_07_能态密度和费米面——能带理论04_07_能态密度和费米面——能带理论2.费米面固体中有N个自由电子，按照泡利原理它们基态是由N个电子由低到高填充的N个量子态3/13/1)()83(2VNkF3/1)83(2n电子的能级N个电子在k空间填充一个半径为kF的球，球内包含N个状态数球的半径费米球;费米球的半径KF04_07_能态密度和费米面——能带理论费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度费米能量费米球半径费米动量费米速度费米温度04_07_能态密度和费米面——能带理论自由电子球半径rs:1.5~15FEeVeV04_07_能态密度和费米面——能带理论晶体中的电子满带——电子占据了一个能带中所有的状态空带——没有任何电子占据（填充）的能带导带——一个能带中所有的状态没有被电子占满即不满带，或说最下面的一个空带价带——导带以下的第一个满带，或最上面的一个满带禁带——两个能带之间，不允许存在的能级宽度，或带隙04_07_能态密度和费米面——能带理论单电子的能级由于周期性势场的影响而形成一系列的准连续的能带，N个电子填充这些能带中最低的N个状态半导体和绝缘体电子刚好填满最低的一系列能带，形成满带，导带中没有电子半导体带隙宽度较小~1eV绝缘体带隙宽度较宽~10eV04_07_能态密度和费米面——能带理论金属电子除了填满一系列的能带形成满带，还部分填充了其它能带形成导带电子填充的最高能级为费密能级，位于一个或几个能带范围内在不同能带中形成一个占有电子与不占有电子区域的分解面面的集合称为费密面04_07_能态密度和费米面——能带理论04_07_能态密度和费米面——能带理论碱金属——具有体心立方格子，每个原胞内有一个原子，由N个原子构成的晶体，各满层电子的能级相应地分成2N个量子态的能带，内层电子刚好填满了相应的能带n＝2的能级——原子的量子态数为8，电子填充数为8个——形成晶体后相应的能带2s（1个）、2p（3个），共4个能带，每个能带所容许的量子态2N，共有8N个量子态，可以填充8N个电子——ns态所对应的能带可以填充2N电子，N个原子只有N个自由电子，只填充了半个能带而形成导带——碱金属中的N个电子只填充了半个布里渊区，费密球与布里渊区边界不相交，费米面接近球面04_07_能态密度和费米面——能带理论二价碱土金属——最外层2个s态电子，似乎刚好填充满和s相应的能带。由于与s对应的能带和上面的能带发生重叠，2N个尚未填充满s态能带，就开始填充上面的能带，形成两个能带都是部分填充——第一布里渊区中的状态尚未填满，第二布里渊区已填充电子，此时的费米面由两部分构成——碱土金属为金属导体04_07_能态密度和费米面——能带理论金刚石结构的IVB族元素C、Si和Ge电子的填充——IVB原子外层有4个电子，形成晶体后成键态对应4个能带在下面，反键态对应4个能带在上面。每个能带可容纳2N个电子，成键态的4个能带刚好可以容纳8N电子——金刚石结构晶体中每个原胞有两个原子，共8个电子。晶体中的8N个电子全部填充在成键态的4个能带中形成满带，反键态则是空带,金刚石为绝缘体——Si和Ge为半导体04_07_能态密度和费米面——能带理论——能态密度的实验结果X射线可以将原子内层电子激发，产生空的内层能级，当外层电子(导带中的电子)跃迁填充内层能级时发射X射线光子用X射线将Na原子的内层电子激发产生诸如1s、2s和3p等空的内层能级——K:电子到1s能级的跃迁——LI:电子到2s能级的跃迁——LII:电子到2p能级的跃迁——LIII:电子到3s能级的跃迁04_07_能态密度和费米面——能带理论——导带中电子能量从带底能量到最高能量E0，各种能量的电子均可发生跃迁产生不同能量的X光子——发射出X光子能量形成一个连续能量谱——发射的X光子能量可以通过实验测得X光子发射强度决定于（能态密度）×（发射几率）——根据不同固体的X光子发射谱可以获知能态密度的信息04_07_能态密度和费米面——能带理论金属Na、Mg、Al和非金属金刚石、硅的实验结果04_07_能态密度和费米面——能带理论——在低能量区域Na、Mg、Al和金刚石、硅的X光子发射能量逐渐上升的——反映了电子的能量从带底逐渐增大，其能态密度逐渐增大的规律04_07_能态密度和费米面——能带理论——在高能量的一端金属Na、Mg、Al的X光子发射谱陡然下降——反映了导带未被电子填充满，最高能量的电子对应的能态密度最大04_07_能态密度和费米面——能带理论——在高能量的一端金刚石、硅的X光子发射谱逐渐下降——反映了电子填充了导带中所有的状态，即满带。而在满带顶对应的布里渊区附近，电子的能态密度逐渐降为零