固体物理习题4

第四章金属自由电子理论4.1限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量2y2x2yxkk2mk,kE（1）求能量E到E+dE之间的状态数；（2）求此二维系统在绝对零度的费密能量。解：（1）由周期性边界条件得Ln2kyyπyxk,k轴相邻两代表点的间距为沿。L2π因而在波矢空间每个状态的代表点占有面积为2L2π。Ln2kxxπ在kdk~k面积元yxdkdkkd中含有的状态数为kd2πL2。每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，则在面积元kd中容纳电子数为kdk22πL2kd2πL2dz22π又2mkE22dkmkdE2所以E到E+dE之间的状态数dEπmLdEm2πL4π2222（2）在E到E+dE内的电子数为dNdzEfdN在绝对零度时FFEE1EE0Ef0F22E022EπmLEdπmLN0F则222220FmL4NhnmπmLNπEπ4.2设金属中的电子可看成是在边长为L的方匣内运动的自由粒子，试分别采用驻波边界条件和周期性边界条件，求状态密度的表示式。解：电子在方匣中运动，设其势函数0)(xV可写为，则薛定谔方程08222Ehm(1)令)(4282222222zyxkkkkEhm(2)zyxzyx,,(3)代入(1)式可得02222xxxkdxd02222yyykdyd(4)02222zzzkdzd应用驻波边界条件：00,,),0,(),,0(yxzxzy0,,),,(),,(LyxzLxzyL可得驻波解为zkykxkAzyx2sin2sin)2sin(式中波矢的各分量分别为LnkLnkLnkzzyyxx2,2,2(5)这里zyxnnn,,为任意正整数，因而zyxkkk,,也只取正值。由(5)式得知，间中一个状态代表点所占体积为kVLLL812121213LV代表金属体体积。由上式知道，k空间中的状态密度等于8V。因为能量dEEE~之间的状态数即是k空间中半径在dkkk~之间球壳体积的1/8内所包含的状态数，这样，如计入自旋，dEEE~之间的状态数VdkkdkkVdZ22848182从(2)式知道，mkhE222于是，dEEhmVdZ2/132/324状态密度为2/133/224)(EhmVdEdZEg(6)另一方面，若应用周期性边界条件zLzyLyxLxzzyyxx则从(3)(4)两式可得行波解zkykxkizyxAe2波矢各分量分别为LnkLnkLnkzzyyxx,,(7)zyxnnn,,取正负整数，电子的能量仍然表示为)(22222222zyxkkkmhmkhE从(7)式知道，在k空间中，每个状态代表点所占体积为VLLL1111因而k空间中的状态密度为V，计入自旋，dEEE~之间的状态数为dEEhmVdZ2/132/324故状态密度2/132/324)(EhmVdEdZEg(8)对比(6),(8)两式知道，利用驻波边界条件和周期性边界条件求出的状态密度表示式是一样的。4.3金属锂是体心立方晶格，晶格常数为a=3.5埃，试计算绝对零度时锂的电子气的费米能量(以电子伏特表示）。FE解：32220F3nπ2mE体心立方3a2n又SJ101.0634kg109.1m31m103.5a10所以322331031222340F3.14m103.523kg109.12SJ101.06E4.75eVJ107.6J100.076-19174.4在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成开摩尔毫焦32.57T2.08Tc若一个摩尔的钾有23106NFT和德拜温度DΘ。个电子，试求钾的费米温度解：低温下，金属摩尔热容量为3αVeVeVbTνTCCC因3D40F2θRπ512b2TRZπνkmolJ8.31441kNRB01Z572082..3D40F2θRπ5122TRπ所以k101.97kmolmJ2.082kmolmJ108.314413.142νRπT423220F可得k91.1kmolJ102.5753.14kmolJ8.31441125b12Rπθ31434314D4.5某晶体中电子的等能量曲面是椭球面2323222221212mkmkmk2kE求能量dEE~E之间的状态数。解：2323222221212mkmkmk2kE因为能量为E的等能面的方程式可写为1E2mkE2mkE2mk232322222121椭球的体积为32321321212321222121Emm8mπ34E2mE2mE2mπ34乘上状态的密度34πV（V为晶体体积）。得椭球内所含状态数为232132132Emm8mπVEZdEE~E之间的状态数为dEEmm8m2πVEdZ212132132dEEmm8mhV2212132134.6已知一维金属晶体共含有N个电子，晶体的长度为L。设T=0K，试求(1)电子的能态密度；(2)晶体的费密能级；(3)晶体电子的平均能量。(1).解一维薛定谔方程082222Ehmdxd(1)令22228kEhm(2)解：从(1)式解得kxiAe2利用周期性边界条件)()(Lxx，得到,2,1,0,2nLnk…从上式可求得电子态在k空间的密度21)(Lkkg从(2)式又知道mkE222(3)可见能量E是波矢k的偶函数，和kk对应同一能级，因而在能量区间dEEE~内的电子态数dkLdkkgdEEgdZe)(2)((4)式中)(Ege为电子的能态密度。dkmEkdkmdE22即dEEmdk21代入(4)式，成为dEEmhLdEEmLdEEgdZe221)(由(3)式得于是得EmhLEge2)(计及电子的自旋，则得到能态密度为EmhLEg22)((2).电子服从费密统计。0001)(FFEEEEEf式中的0FE为0K时的费密能级，即T=0K时电子填充的最高能级，故应有0002422)()(00FEEEhmLdEEmhLdEEgEfNFF当T=0K时，费密分布函数因此22032LNmhEF(5)(3).按照定义，电子的平均能量(T=0K)23000032422)()(100FEEENhmLdEENhmLdEEgEEfNEFF利用(5)式化简，从上式即得300FEE4.7证明：mkhVEF54520式中，Fk为费密球半径；V为金属体积。（2）金属中电子的平均能量（1）T=0K时，金属中自由电子的能量密度mkhVEF103220（1）处于k状态的自由电子能量为mkhE222，k为电子波矢。由此得到，费密球内证明：当T=0K时，电子全部占据费密球内各态。k空间中，状态密度等于V，计入自旋，在波矢dkkk~的球壳内的状态数为dkkV242在，电子的总能量FkkmkhE2220dkkV242式中Fk是费密球半径。于是522022054422FkkmhVdkkmkhVEF(1)由此得到空间能量密度为52054FkmhVEkk在空间的分布非常密集，可以看作准连续，上式的求和可用积分代替，当V比较大时，波矢(2)因为费密球内电子的总数3342FkVN(2)把(2)式代入(1)式便得电子的平均能量mkhNEE1032200当然，上式可应用mkhEFF2220化简为习惯的表示式0053FEE4.8对于单位面积的样品，二维电子气的状态密度为24hmg试求二维电子气的比热。设g(E)为单位体积样品的状态密度，当系统由0K加热直至温度T时，022020)(2)(4)()(dEEEfEhmdEEEfhmdEEgEEfET(1)式中的f(E)是费密分布函数。的积分可利用如下的积分公式求得：如FBETk，有解：它的总能量(1)式已经过部分积分，其中最后式中y(E)为能量E的某一函数。2)(EEy，从(1)式立即得到222232TkEhmEBFT(2)因为在通常讨论的温度范围，随温度的变化甚微而可以忽略，于是从(2)式可得二维电子气的比热为TkhmTECBTeV22334FBFEyTkEydEEEfEyI2206)()(令