固体物理学3

定义：在倒格子空间中，第n个布里渊区是从第n-1个布里渊区出发，只经过一个布拉格平面所能到达的所有点的集合。因此，除第一布里渊区外，这里引入的第二、第三等高布里渊区概念，将有助于问题的讨论。图中给出二维正方格子第一到第四布里渊区示意图，这是选择任一倒格点为原点，做它与附近倒格点连线的垂直平分线（即二维布拉格面）所分割出来的。如图所示，若将第n个布里渊区的一些小块，平移适当的倒格矢Kh至第一布里渊区，则刚好填满第一布里渊区，既没有交叠也没有遗漏。高布里渊区都是由一些分立的小块组成，且每个布里渊区的总体积相等，均为倒格子空间中一个原胞的体积。布里渊区的大小和形状只取决于晶体结构，对于二维正方格子晶体，自由电子费米面的半径只取决于电子数密度，即二、费米面的构造下面以二维正方格子晶体为例，进行说明。式中，电子数密度可以表示成2/1)2(nkF。2aZn则费米波矢为aZkF2/12由上式可知，当原胞中价电子数Z较小时，费米面全部落在第一布里渊区；而当Z较大时，费米面将穿过第一布里渊区进入第二、第三…布里渊区，如图中a、b所示。此时，第一布里渊区尚未被电子占满，而第二布里渊区又部分被电子所填充，其简约图示如图7中c、d所示。根据能带理论，晶格周期势场的影响发生在布里渊区界面上。此时，在布里渊区边界处出现能隙，且费米面总是与布里渊区边界垂直相交，如图所示。由于晶格周期势场的影响，费米面将不再是球面。虽然费米面不再连续，但是它所包围的总体积保持不变，仅依赖于电子数密度。同时，能带又是倒格子空间的周期函数，因此有如果晶体具有与波矢k垂直的反映面，则沿该方向，能带是对称的。即而在布里渊区边界处，有kkkEkEEE)()(kkhKkkhkEkEEE)()(Kkk2hKk显然，在边界上只有当则上述两式导致了下面两个不同的结果，即hhKKkEkE2121hhKKkEkE21210kE时，两个结果才能相容。（1）画出扩展图示的布里渊区；根据上述分析，可知构造金属费米面的一般步骤：（2）用自由电子模型画出费米球面，球的半径为3/12)3(nkF（3）在布里渊区边界面处进行修正，即使费米面在布里渊区边界面处断开，并且布里渊区边界面垂直。下面是二维正方格子自由电子费米面的图示。其中，图a是修正后费米面的扩展图示；图b是其简约图示。碱金属Li、Na、K、Rb、Cs等晶体具有体心立方结构，每个原胞只含一个原子，且每个原子只有一个价电子，其价带是不满带。三、金属的费米面1.碱金属碱金属的费米波矢为因为体心立方晶格的第一布里渊区是一个十二面体，如下图所示。ankF240.1)3(3/1232an图中N点坐标为(π/a,π/a,0)。因此，碱金属的价电子非常接近自由电子。显然，从区域中心到界面的最小距离为a414.1所以，费米面完全在第一布里渊区内，周期晶格场只使它发生极小的变化。贵金属Cu、Ag、Au等晶体具有面心立方结构，每个原胞只含一个原子，且每个原子只有一个价电子。2.贵金属贵金属的费米波矢为面心立方晶格的第一布里渊区是截角八面体，即十四面体，其内切球半径为ankF56.1)3(3/1234ana73.1虽然费米面也完全包含在第一布里渊区内，但费米面与8个六边形的界面很接近，在这些方向上费米面发生畸变，凸向布里渊区界面，形成圆柱形的“颈”，如图所示。同碱金属一样，贵金属的价电子也很接近自由电子，所以也具有良好的导电性。过渡族金属的原子具有不满的d壳层，并且它们的能态密度很大，能够容纳较多的电子。3.过渡族金属由于过渡族金属d带最大能级比s带最大能级低，因此在结合成晶体时能够夺取较高的s带中的电子而使能量降低。所以，过渡族金属的结合能较大，强度较高。由于过渡族金属的d带和s带都是半满的，而d带电子受原子束缚较紧，所以不能用自由电子近似来确定其费米面的形状。在二价金属中，Ca、Sr、Ba等属于立方晶体，每个原子有2个价电子，其价带是满带。但是由于价带同更高的能带有重叠，故它们仍是金属。4.二价金属二价金属的费米波矢为所以费米面穿过第一布里渊区界面。即：电子没有全部填满第一布里渊区，但却有一些进入了第二布里渊区。321anaankF240.1)3(3/12由于布里渊区界面也是能带的分界线，所以第一、第二能带都是的不满带。另外一些二价金属，如Be、Mg、Zn等具有六方密积结构，每个原胞有2个原子，共有4个价电子。由于其第一布里渊区为六方柱体，而且它与上、下两个六边形界面相联系的结构因子为零。所以，在近自由电子近似下，这类晶体的能量在布里渊区界面处是连续的。此时，一个能带可能包含几个布里渊区（称为琼斯区），所以Be、Mg、Zn也是金属。最典型的三价金属是Al，它具有面心立方结构。其第一布里渊区同贵金属相似。5.三价金属由于Al有3个价电子，其费米面半径所以，它的费米面把第一布里渊区完全包含在内，并且延伸到了第二、第三和第斯布里渊区。334anaankF73.125.2)3(3/12第一布里渊区内切球半径四、态密度设第n个能带的态密度为式中，中允许的波矢数目确定。),(Egn则在单位体积内，能量从E~E+dE的电子态数目为总的态密度为,)(dEEgnnnEgEg)()()(Egn可以通过计算在k空间第一布里渊区内，等能量面壳层dEEEEn)(k可以从理论上推得式中，dS是等能面En(k)=E上的面元，积分遍及等能面在第一布里渊区部分。显然，可以通过能带结构计算态密度。dSEEgESnknn)(3)(41)(k五、费米面的测量金属材料的物理过程主要由费米面附近的电子行为决定，因此，费米面的实验测定具有非常重要的意义。另外，费米面的实验测定，也为以单电子近似为出发点的能带结构提供了实验依据。1930年，德.哈斯和范.阿尔芬在14.2K温度下测量金属铋单晶样品的高磁场磁化率时，发现：磁化率随磁场的倒数而振荡，这一现象称为德哈斯—范阿尔芬效应。1.德哈斯—范阿尔芬效应后来，人们陆续发现，在电导率、比热等物理量中也存在着类似的振荡现象。由于这些现象同金属费米能级附近的电子在强磁场作用下的行为有关，因而同费米面结构有密切的关系，所以现在已经成为研究费米面的有力工具。德哈斯—范阿尔芬效应如图所示。在金属费米面的实验研究中，回旋共振法是一个经常采用的方法。如图所示，电子在平行于金属表面方向的外磁场作用下作回旋运动，其频率为2.回旋共振法;c同时在表面施加频率为ω的高频电磁场，则当电子进入厚度为δ的高频电磁场穿透层时，将受到交变场的作用。),3,2,1(nnc时，发生共振。当满足条件当满足条件),3,2,1(nnc时，发生共振。此外，传统的费米面研究手段还有超声吸收、反常趋肤效应等方法。