固体物理第二、四、五章-电子论复习与习题

电子论复习中山大学物理科学与工程技术学院电子论复习第二章自由电子论第五章半经典电子论（外场中电子）第四章电子能带论1、Drude假设与应用2、Sommerfeld假设与应用3、Sommerfeld展开的应用1、Bloch定理2、近自由电子近似以及结论3、紧束缚近似以及应用4、能态密度1、电子半经典论结论及应用2、电子在恒定电、磁场中的运动3、导体、半导体、金属、半金属的能带解释4、电子与外场的相互作用效应电子论复习第二章自由电子论1、Drude假设与应用1）自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性,与电子发生碰撞。2）独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。外电场为零时,忽略电子之间的碰撞，两次碰撞(与离子实碰撞)之间电子自由飞行。3）玻尔兹曼统计:自由电子气服从玻尔兹曼统计;4）弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/，称为弛豫时间(即平均自由时间)。每次碰撞时,电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。（1）假设内容电子论复习（2）假设处理的问题欧姆定律E=j，其中E为外加电场强度、为电阻率、j为电流密度。第二章自由电子论1、Drude假设与应用电子论复习（1）假设内容第二章自由电子论2、Sommerfeld假设与应用电子在运动中存在一定的散射机制。电子在一有限深度的方势阱中运动，电子间的相互作用忽略不计；电子按能量的分布遵从Fermi-Dirac统计；电子的填充满足Pauli不相容原理；得出了费米能级，费米面等重要概念并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。提供ρ(k)的计算依据提供ρ(E)的计算电子论复习（2）ρ(k)和ρ(E)第二章自由电子论2、Sommerfeld假设与应用2121212122)2()()()2(222)(,222222)(2)(ZEmLdEEdZEEmLmELEZmEkmkEkLkkE代入上式可以有一维：22222222)()(22)(,2242)(2)(ZmSdEEdZEEmSmESEZmEkmkEkSkkE代入上式可以有二维：21322323322332223332)2()()(3)2()2(3)(,22348234)(2)(ZEmVdEEdZEEmVmEVEZmEkmkEkVkkE代入上式可以有三维：注1:系数2是因为考虑电子自旋注2：一维是线，有两个方向注2：二维是圆面注2：三维是球体电子论复习（3）T=0K时的计算第二章自由电子论2、Sommerfeld假设与应用2323220223322FNEnmVm系统的自由电子总数为0NfEEdE系统的总能量：00UEfEEdE电子论复习T0K时的计算第二章自由电子论2、Sommerfeld展开的应用确定一维、二维、三维自由电子气在有限温度T时得费米能级这里我只考虑T0的情况，因为T=0估计你们都清楚，我这里主要是展示如何Sommerfeld近似。0)()(FermidEEEfN能，那就是要用：求首先需要明确，一看到2206FBFfEQEdEQEkTQEN(E)不同维度不一样，但是f(E)都是一样的，我们Sommerfeld近似就是处理f(E)的。0NfEEdEQEE因为：根据Sommerfeld近似：令：电子论复习第二章自由电子论2、Sommerfeld展开的应用)(')(6)()()(22000FBEEEETkdEEEdEFFF220'6FBFEEdEkTE上式有：N)(')(6))((02200FBFFFETkEEENN)(')()(602020FBFFFETkEEE取近似有：2321212121)(')2()()(CEECEEmLdEEdZE一维：212121322321)('2)2()()(CEECEEmVdEEdZE三维：)(')()(602020FBFFFETkEEE])(121[)21()(6)(')()(6202023022102002020FBFFBFFFBFFFETkECETkCEEETkEEE])(121[)21()(6)(')()(6202021022102002020FBFFBFFFBFFFETkECETkCEEETkEEE电子论复习)1ln()1ln(1111)()()(/222202020TkEBBFxBTkExxBTkExBTkEEBFBFBFBFeTmSkTkEeTmSkedxeTmSkeTdxkmSdEemSdEmSEfdEEEfNTkEExBF二维问题，根本不需要用Sommerfeld近似。]1ln[1)1ln(222TmknBFTkETmknTkEBBBFBBFeTkEeeeTmknn=N/S，即为单位面积的电子数电子论复习*3109.1110mmkg341.05510Js231.3810/BkJK2316.02210Nmol例:已知Na具有体心立方结构，点阵常数aNa=0.4282nm，试求其绝对零度时的费米能、费米速度、费米温度、单位体积的电子气平均能，第二章自由电子论二、基本计算第二章自由电子论二、基本计算).(896.15353)(106.3).(1005.121)(16.332)(1055.210282.412123000400160023/2220328310meVnEEEEKkETsmvEmveVnmEmVNnAlNaFFBFFFFFF单位体积电子气平均能每个电子的平均能费米温度费米速度绝对零度下的费米能自由电子密度个自由电子，故原子有个原子，每个个晶胞有具有体心立方结构，每电子论复习第四章电子能带论1、Bloch定理在周期场中，描述电子运动的Schrödinger方程为222UEmrrr为格矢123123RaaaUUrrR为周期性势场，这里，uk(r)=uk(r+Rl)是以格矢Rl为周期的周期函数。ieukkkrrr波函数有如下性质：kRr+Rrie或布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子波函数为：一个自由电子波函数与一个具有晶体结构周期性的函数的乘积。rkie)(ruk电子论复习第四章电子能带论1、Bloch定理。的简约波矢和广延波矢。试求电子；电子波函数为，定理，若晶格常数为应当满足数一维周期场中电子波函lkkklaxfxxaixax)()()2(3cos)()1(Bloch)(，有定理解：由)()(Blochxeaxkikak...2,1,0,2'0sin;cos1sin3coscos3cos3cos3cos3cos)()1(nanakakkaknakaxakaxaixaixaieaxaiaxikak；广延波矢简约波矢...2,1,0,2'01)()'())1(()()()()()2('nankkelaxfalxfalxflaaxflaxfelaaxfaxikalllllikalk；广延波矢简约波矢电子论复习第四章电子能带论2、近自由电子近似Born－Oppenheimer绝热近似：所有离子实都周期性地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子的碰撞。Hatree－Fock平均场近似：忽略电子与电子间的相互作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用。所有离子实势场和其它电子的平均场是周期性势场,电子在固体中将受到周期性势场的作用。——多种粒子问题就简化成多电子问题——多电子问题就简化成单电子问题（1）假设内容电子论复习第四章电子能带论2、近自由电子近似需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带结构。1）在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值Ek(0)为k的抛物线；2）由于周期势场的散射，当电子的Bloch波的波矢为k=2πn/a时，Bloch波的入射波与反射波形成驻波，无法传播；3）从而使得E(k)函数在k=2πn/a处断开，本证能量发生突变，出现能量间隔2|Vn|；4）间隔内不存在允许的电子能级，称为禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的数值，形成能带。（2）能隙的由来电子论复习第四章电子能带论3、紧束缚近似（1）紧束缚与近自由的区别1）近自由电子模型（TheNearlyFreeElectronModel）该模型假设晶体势很弱，晶体电子的行为很像是自由电子，我们可以在自由电子模型结果的基础上用微扰方法去处理势场的影响，这种模型得到的结果可以作为简单金属（如：Na,K,Al）价带的粗略近似。2）紧束缚模型（TheTight-BindingModel）该模型假定原子势很强，晶体电子基本上是围绕着一个固定原子运动，与相邻原子存在的很弱的相互作用可以当作微扰处理，所得结果可以作为固体中狭窄的内壳层能带的粗略近似，例如，过渡金属的3d能带。Schrödinger方程：2222dUxxExmdx电子论复习第四章电子能带论3、紧束缚近似（2）紧束缚的计算例：用紧束缚方法处理体心立方晶系，求出：1）s态电子能带；2）画出第一布里渊区[111]方向的能带曲线；)2,2,2(aaa解：对于体心立方，参考点为（0，0，0），则有8个最近邻电子论复习2cos2cos2cos8]2cos2cos)[(4]2cos2cos2cos2cos[2][)()1(22)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2akakakJCEakakeeJCEakeakeakeakeJCEeeeeeeeeJCEeJCEkEzyxssatszykaikaissatszkkaizkkaizkkaizkkaissatskkkaikkkaikkkaikkkaikkkaikkkaikkkaikkkaissatsnRikssatssxxyxyxyxyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxnCsEEkaJsEEkkkkatszyx030),63(cos833]111[)2(其中能带化为：方向上，在电子论复习例：用紧束缚发处理面心立方晶格s态电子，试导出其能带关系，并求出能带底的有效质量。nRkissatssneJCEkE)(,2,0,2,2,0,2,2,2,0,2,0,2,0,2,2,2,2,0,2,0,2,0,2,2,0,2,2,2,2,0,2,0,2,0,2,2aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa]2cos2cos2cos2cos2cos2[cos4