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第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引学习目标1.知道数系的扩充过程,能记住数系的完整体系;2.能说出复数的有关概念,会用复数的概念以及复数相等的条件解决问题.重点难点重点:复数的概念及复数相等的条件;难点:复数的理解与引入.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引1.复数(1)复数与复数集集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,全体复数所成的集合C叫做复数集.(2)复数的代数形式复数通常用z表示,z=a+bi(a,b∈R),叫做复数的代数形式.其中a与b分别叫复数z的实部与虚部.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流1(1)思考:如何理解虚数单位i?提示:①i2=-1;②i可与实数进行四则运算,且原有的加、乘运算律仍成立.(2)做一做:若复数z=3i-1,则其实部等于,虚部等于.提示:由于z=3i-1=-1+3i,故实部等于-1,虚部等于3.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引2.复数相等a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)的充要条件是a=c且b=d.3.复数的分类(1)设z=a+bi(a,b∈R),则当且仅当b=0时,z为实数.当b≠0时,z为虚数,当a=0且b≠0时,z为纯虚数.(2)复数集内的包含关系课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引预习交流2(1)复数z=a+bi(a,b∈R),当b=0时为实数,当a=0时为虚数,这种说法正确吗?(2)形如bi的数一定是纯虚数吗?(3)复数z=0的充要条件是什么?提示:(1)这种说法不正确,复数z=a+bi(a,b∈R)中,当b=0时为实数;当a=0时,z不一定为虚数,因为当a=b=0时,z=0是实数,而不是虚数.(2)不一定,只有在bi中,当b∈R且b≠0时它才是纯虚数,当b∈R且b=0时,bi=0不是纯虚数,当b∉R时,也不是纯虚数.(3)若复数z=a+bi(a,b∈R),则当a=b=0时,有z=0;反之,若z=0,则必有a=b=0,即复数z=0的充要条件是其实部和虚部均为0.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测一、复数的有关概念活动与探究1.复数的实部、虚部都是什么数?提示:实数.2.什么是虚数?复数一定是虚数吗?提示:在形如z=a+bi(a,b∈R)的数中,当b≠0时,z为虚数,当b=0时,z为实数,可见复数包括实数与虚数,故复数不一定是虚数.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例1(1)下列说法错误的有.(填序号)①若z∈C时,z2≥0;②若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;③若ab,则a+ib+i.(2)给出以下命题:①复数由实数、虚数、纯虚数构成;②形如a+bi的数一定是虚数;③两个复数不能比较大小.其中正确命题的个数是.思路分析:按照复数、实数、纯虚数的概念进行分析与判断.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测答案:(1)①②③(2)0解析:(1)①错误,若z=i,则z2=-10;②错误,当a=-1时,(a+1)i=0∈R;③错误,两个虚数不能比较大小.(2)①复数由实数和虚数组成,虚数中包含着纯虚数,故①错;②形如a+bi的数不一定是虚数,也可能是实数,故②错;③中两个复数并非不可以比较大小,当两个复数都是实数时就可以比较大小,故③错.因此正确命题的个数为0.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用下列说法中正确的是()A.在复数a+bi(a,b∈R)中,若a≠0,则a+bi一定不是纯虚数B.实数a与纯虚数ai是一一对应的C.满足x2=-1的数x只能为iD.复数m+ni的虚部一定是n答案:A解析:当a=0时,ai=0不是纯虚数,故B项错;满足x2=-1的数是±i,故C项错;由于没有限定n∈R,故m+ni的虚部不一定是n,即D项错.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(1)复数的概念是用代数形式a+bi(a,b∈R)给出的,必须明确实部与虚部的概念,而且只有两个复数都是实数时,才可以比较它们的大小.(2)判断命题的正确性时,需通过逻辑推理加以证明,但否定一个命题的正确性时,只需举一个反例即可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测二、复数的分类活动与探究1.复数z=a+bi(a,b∈R)中,随着a,b的变化,z可以表示哪些数?提示:当b=0时,z为实数,当b≠0时,z为虚数,当a=0,且b≠0时,z为纯虚数.2.用“⊆”关系写出集合N,R,Q,C的关系.提示:N⊆Q⊆R⊆C课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例2当实数m为何值时,复数z=𝑚2+m-6𝑚+(m2-2m)i为(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.思路分析:注意a+bi(a,b∈R)当且仅当𝑏=0时为实数,当且仅当𝑏≠0时为虚数,当且仅当𝑎=0,𝑏≠0时为纯虚数,当且仅当𝑎=0,𝑏=0时为零.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测解:(1)当𝑚2-2m=0,𝑚≠0,即m=2时,复数z是实数;(2)当𝑚2-2m≠0,𝑚≠0,即m≠0且m≠2时复数z是虚数;(3)当𝑚2+m-6𝑚=0,𝑚2-2m≠0,即m=-3时,复数z是纯虚数.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用1.若复数z=(a+|a|)i(a∈R)是纯虚数,则必有()A.a=0B.a≠0C.a≥0D.a0答案:D解析:由题意知a+|a|≠0,从而必有a0.2.设z=(m2-5m+6)+(m2-2m-3)i(m∈R),当m=时,z为实数;当m=时,z为纯虚数.答案:3或-12解析:若z为实数,则有m2-2m-3=0,得m=3或-1;若z为纯虚数,则有m2-5m+6=0且m2-2m-3≠0,解得m=2.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(1)解决这类复数的分类问题时,主要依据复数z=a+bi(a,b∈R)是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解,列出相应的等式或不等式组求出参数的值或范围,但若已知的复数z不是a+bi(a,b∈R)的形式,应先化为这种形式,得到复数的实部、虚部再进行求解.(2)应特别注意z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的条件是a=0且b≠0,不能忘记b≠0这一限制条件.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测三、复数相等活动与探究1.我们知道实数可以相等也可以比较大小,复数也可以相等但其能否比较大小?提示:因为虚数一定不能比较大小,所以复数不一定能比较大小,只有复数为实数时才能比较大小.2.在解决a+bi=x+yi的问题时,是否一定有a=x且b=y?还需注意什么问题?提示:不一定,看已知条件是否注明a,b,x,y∈R,需注意条件.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例3(1)已知(a2-b)+4i=6+(a-b)i,求实数a,b的值.(2)已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.思路分析:(1)根据复数相等的充要条件,由实部和虚部分别相等,建立关于实数a,b的方程组求解.(2)本题考查复数相等的充要条件.由M∪P=P知,M是P的子集,从而可知(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或4i,利用复数相等的条件就可求得m的值.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测解:(1)由于(a2-b)+4i=6+(a-b)i,∴𝑎2-b=6,𝑎-𝑏=4,两式相减得a2-a=2,∴a=2或-1,从而b=-2或-5.即a=2,b=-2或a=-1,b=-5.(2)∵M∪P=P,∴M⊆P.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得𝑚2-2m=-1,𝑚2+m-2=0,解之,得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得𝑚2-2m=0,𝑚2+m-2=4,解之,得m=2.综上可知m=1或m=2.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用复数cosθ+isinθ与sinθ+icosθ相等,则θ的值是()A.π4B.π4或5π4C.2kπ+π4(k∈Z)D.kπ+π4(k∈Z)答案:D解析:由复数相等的充要条件知应有sinθ=cosθ,于是sinθ-cosθ=0,即2sin𝜃-π4=0,所以θ=kπ+π4(k∈Z).课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测根据复数相等的定义可知,在a=c,b=d中,只要有一个不成立,那么a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如1+i和3+5i不能比较大小.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测123451.复数2+3的虚部为()A.3B.2C.iD.0答案:D解析:复数2+3为实数,虚部为0.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测123452.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为()A.-1B.0C.1D.-1或1答案:A解析:依题意有x2-1=0且x-1≠0,故必有x=-1.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU12345问题导学当堂检测3.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则()A.M∪R=IB.(∁IM)∪R=IC.(∁IM)∩R=RD.M∩(∁IR)=⌀答案:C解析:根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断.依题意,I,R,M三个集合之间的关系如下图所示.所以应有:M∪R⫋I,(∁IM)∪R=∁IM,M∩(∁IR)=M≠⌀,故A,B,D三项均错,只有C项正确.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU12345问题导学当堂检测4.若(x-2y)i=2x+1+3i,则实数x,y的值分别为.答案:-12,-74解析:根据题意得2𝑥+1=0,𝑥-2𝑦=3,所以𝑥=-12,𝑦=-74.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU12345问题导学当堂检测5.若复数z=m+(m2-1)i是负实数,则实数m的值为.答案:-1解析:依题意可知m2-1=0且m0,因此m=-1.3.1.1数系的扩充和复数的概