期权基础知识3――期权定价

期权定价北京物资学院证券期货教研室刘宏刘宏[e-mail]主要内容•风险中性理论•二叉树定价模型•Black-Scholes模型•三叉树模型一、风险中性定价原理例1.某股票当前的市场价格为100元，根据该股票的风险特征，其必要收益率为10%，如果市场上的无风险利率为5%，则1年后的股票价格应该是110元还是105元？如果1年后股票的价格为110元，交易中以无风险利率借入资金100元，买入该股票，与远期买入方约定按110元在1年后卖出。1年后，无论股票价格涨跌，该交易者均可将持有的股票按110元卖给远期买入者，然后将105远归还资金贷出方，此策略可使交易者获得5元的无风险套利收益。所以，任何资产的远期价格应该等于该资产的现值按无风险收益进行投资的终值，或任何资产的现值等于该资产的远期价格按无风险利率贴现的现值。所以，用远期价格对资产进行定价时，贴现率为无风险利率，即定价中使用的贴现率与资产的风险无关——风险中性定价原理。风险中性定价原理：风险中性定价原理是指在对资产进行定价时，资产的风险与其价格无关，或定价过程中不考虑资产的风险。二、（一）二叉树模型的基本方法（1）--标的资产不支付红利的欧式看涨期权的定价（C=c）)()()()()1(**)1()1(**)1(*)1()1(*tTtTtTdtTurdSruSrSrSS已知标的资产的现价为S和t时间后上升和下跌的价格Su和Sd，如图1所示，期权价格关系如图2所示。无风险利率为r，求t时期到期、行权价格为K的该标的的资产看涨期权的价格以及上涨概率ρ。SuSdS图1cucdc图2SSdSSudu,上涨和下跌因子u和d，或称上升系数和下跌系数为：cu=max{Su-k,0}cd=max{Sd-k,0}（T-t）年后的远期价格应该等于每一种远期价格可能性的加权平均，即期价格等于远期价格按无风险利率进行贴现的现值：durtT*)1(*)1()(标的资产和期权价格上涨的概率P和看涨期权的价格：dudrtT)()1(durutT)()1(1dtutcrcrc*)1(1*)1(SuSdS图1pupdp图2一、（二）二叉树模型的基本方法（1）--标的资产不支付红利的欧式看跌期权的价格：pu=max{k-Su,0}pd=max{k-Sd,0}U、d、Su、sd、ρ等指标的计算与看涨期权相同。看跌期权的价格计算如下：dtTutTprprp*)1(1*)1()()(durtT*)1(*)1()(二、（三）二叉树模型的基本方法（1）--标的资产支付红利的欧式看涨期权的定价（C≥c）•当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为r-q.CdepCuepCtTqrtTqr*1*))(())((duetTqr*)1(*))((dudetTqr))((dueutTqr))((1三、（一）二叉树模型的基本方法（2）--标的资产不支付红利的欧式看涨和看跌期权的定价策略A：购买一张价格等于c的看涨期权，初始持仓头寸C；策略B：借入无风险资产L，购买△股价格等于S的股票，初始持仓头寸为L+△S；到期时，无论价格涨跌，两种策略的持仓应该等价，否则存在套利机会。(T-t)年后期权到期时，股票价格上涨至Su或下跌至Sd，交易者的持仓头寸分别为：L（1+r）（T-t)+△Su=Cu（1）L（1+r）(T-t)+△Sd=Cd（2）或者是构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位标的股票多头以及金额为L的无风险负债的组合。该组合的初始投资为0，有：L+ΔS-c=0。同样的，如果不存在套利机会的话，期末时该组合应满足（1）和（2）式。解（1）、（2）式可得：△Su-△Sd=Cu-CdL=(Cu-△Su)/(1+r）（T-t)或L=(Cd-△Sd)/(1+r）(T-t)将△和L值带入看公式C=L+△S中，即可得到看涨期权的价格。dSdSSccCdudu看跌期权的分析和计算于此相同。三、（二）使用二叉树基本方法（2）对支付连续红利率资产的看涨期权定价•当标的资产支付连续收益率为q的红利，t时期后期权到期时，股票价格上涨至Su或下跌至Sd，交易者的持仓头寸分别为：Le(r-q)(T-t)+△Su=Cu（1）Le(r-q)(T-t)+△Sd=Cd（2）解（1）、（2）式可得：△Su-△Sd=Cu-CdL=(Cu-△Su)/e(r-q)（T-t)或L=(Cd-△Sd)/e(r-q)(T-t)看涨期权的价格C=L+△SdSdSSccCdudu假设一年期无风险利率为r=3%，某公司股票的当前价格是每股S=80元，一年后其价格有且仅有两种可能的走势：或者上涨至S×u=120元，或者是下跌至S×d=80元，现有以此股票为标的的欧式看涨期权，执行价格K为75元，一年后到期。请计算一年以后该股票价格上涨至120元和下跌至80元的概率以及该欧式看涨期权的价格。例2.使用二叉树模型对看涨期权进行定价首先，1年后Cu=120-75=45元；Cd=80-75=5元。12080100图1.股票即期与远期价格455C图2.期权即期与远期价格使用方法（1）575.08.02.18.0%)31()1(dudr425.0575.0111845.275*%31425.045*%31575.0CC=S*△+L=100-72.8155=27.1845使用方法（2）180120545L=(5-80)/(1+3%)=-72.8155假设目前的无风险利率为2%，股票的价格是30元，一个时期（假设是1年）后(股票不支付红利)，股票要么上升到45元，要么下跌到20元。概率分别是p和（1-p）。如果标的股票的欧式看涨期权的执行价格是40元，计算该期权的价格。例3.使用二叉树模型对看涨期权进行定价452030图150C图2U=45/30=1.5,d=20/30=2/30784.202.1/5*%4.42*11*1CdrCurC424.03/25.13/2%)21()1(dudr576.0424.0111年后Cu=45-40=5元；Cd为20-40或0中的最大值，所以Cd=0使用方法（1）C=S*△+L=30/5-3.9216=2.0784使用方法（2）51204505L=(5-45/5)/(1+2%)=-3.9216一年期无风险利率为r=3%，股票的当前价格是每股S=90元，一年后其价格有且仅有两种可能的走势：或者上涨至120元，或者下跌至80元，请计算1年后到期的执行价格为100元的该股票欧式看涨和看跌期权的价格。例4.使用二叉树模型对看涨和看跌期权进行定价1208090图1.标的股票价格200c图2.看涨期权价格615.620*%)31(3175.01c3175.08889.03333.18889.0%)31()1(dudrf6825.03175.011020p图3.看跌期权价格2524.1320*%)31(6825.01pU=120/90=1.3333,d=80/90=0.8889使用方法（1）使用方法（2）对例4中看涨和看跌期权的价格1208090图1.标的股票价格200c图2.看涨期权价格5.08012020duduSSccc835.3803.1/)120*5.020()1/()*(1rSccluuc020p图3.看跌期权价格5.08012020duduSSppp6825.03175.0112524.5803.1/)120*5.00()1/()*(1rSpludupC=S*△c+Lc=90*0.5-38.835=6.615p=S*△p+Lp)=-90*0.5+58.2524=13.2524四、证券价格的树型结构例5，已知树的各节点数值，无风险利率为5%，求各支点的概率。11590140102751601308570100%609.015.19.005.111P由公式：dudrp)1(%34.49887.0217.1887.005.121p%67.56929.0143.1929.005.131P%22.72833.0133.1833.005.122p%11.49833.0275.1833.005.132P%33.58933.0133.1933.005.133p例5中各节点概率如下：U31=1.143d31=0.929U32=1.275d32=0.833U33=1.133d33=0.933u22=1.133d21=0.887U21=1.217d22=0.833P31=56.67%P32=49.11%P33=58.33%P22=72.22%P21=49.34%P1=60%10011590140102751601308570U11=1.15d11=0.9证券价格的树型结构Su1Sd1SSu1u21Su1d21Sd1u22Sd1d22Su1u2u31Su1u2d31Su1d2u32Sd1u2d32Sd1d2u33Sd1d2d33•得到每个结点的资产价格之后，求出各时期上涨和下跌的概率，就可以在二叉树模型中采用倒推法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，便可据此为期权定价。•如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。五、证券的收益率E(r）和方差σ2(Er)E(r)={s[pu+(1-p)d]-s}/s=p(u-d)+(d-1)σ2[E(r)]=P[u–P(u-d)-(d-1)]2+(1-P)[d–P(u-d)-(d-1)]2=P[(1-p)(u-d)+1]2+(1-P)[1-P(u-d)]2=p(1-P)(u–d)2•如果按年计算的方差为σ2，(T-t)时间段的方差为σ2(T-t)，标准差为σ（T-t）0.5。•u=1+σ*(T-t)0.5•d=1-σ*(T-t)0.5•连续复利表达式如下：tTeutTed证券价格未来有两种可能的情况下，收益率和方差的表达式如下：•例6，某股票当前价格为100美元，该股票历史年波动率经测算为20%，年无风险利率是5%，该股票无股息，六个月以后到期，执行价格为102美元的该股票的欧式看跌期权，请用二叉树模型对该期权进行定价（以复利计算）。1519.112/6%20eeutT8681.012/6%20eedtT•Su=100*1.1519=115.19•Sd=100*0.8681=86.81•pu=0•pd=102-86.81=15.1961.619.15*0253.14461.0*1)*(drtTpep5539.08681.01519.18681.012/6%*5*edudert4461.05539.011使用方法（1）C=△S+L=-100*0.5352+60.1257=6.61使用方法（2）5352.081.8619.11519.150duduSSppL=(pu-△Su)/et*rf=(0+0.5352*115.19)/1.0253=60.1257•例7，将例6按两步二叉树模型对期权进行定价（以复利计算）。1052.112/3%20)(eeutT9048.012/3%20)(eedtT•Su1=100*1.1052=110.52•Sd1=100*0.9048=90.48两步二叉树涵盖六个月的时间，因此每个步进是涵盖三个月时间。首先计算股票每个步进（三个月）上升系数和下降系数：•Su1u2=110.52*1.