期权希腊字母(上篇)

五矿期货有限公司MINMETALSFUTURESCO..Ltd新品种研究5/30/2014许彬彬研究员从业资格号：F0280770Tel：[e-mail]期权希腊字母（上篇）——股指期权研究系列之三摘要衍生品交易总是涉及到各种类型的风险。而期权作为一种基础产品，本身受到标的资产价格、期限、波动率和无风险利率等的市场因素影响。如何衡量来自这些因素的影响大小，并将其运用到期权交易中去，将是本文重点介绍的内容。对期权交易者来说，可以不需要确切知道每个希腊值的计算方法，但是必须掌握希腊字母的含义。通过希腊字母，可以管理来自不同因素变动导致的价格波动风险。同时在Delta对冲、Gamma对冲等交易中，希腊字母有着至关重要的作用。期权价格会随着标的资产价格运动而变动。Delta衡量的是期权价值关于标的价格变动敏感性。而Delta本身也会随着标的资产价格变动而变动，它的大小可通过Gamma来衡量。运用Delta和Gamma可估算标的资产价格变动导致期权价格变化的大小。期权价格还受到波动率、期限和利率的影响，它们的大小可分别用Vega、Theta和Rho来计算。本篇中主要介绍与期权相关的五个指标，它们常被称作期权希腊字母（Greeks）。对于一般的期权投资者来说，本篇的知识不是必须掌握的。但是当你的期权头寸比较大以及比较多的时候，传统的图形方法或者线性交易思维已经很难去适应头寸管理的要求了。本篇更实用的地方在于，透过希腊字母可以窥视一般做市商或者专业投资者是如何管理暴露头寸（nakedposition）的。本篇的重点难点比较多，但是期权交易是必须掌握这些概念。本篇的内容主要分两部分，第一部分介绍各个希腊字母的含义、特征以及它们如何随着其他因素的变动而变动，第二部分讲述如何运用希腊字母来辅助期权交易。由于篇幅过长，全文分为上下篇。一、希腊字母介绍本节主要介绍和期权紧密相关的五个指标，它们分别是Delta、Gamma、Vega、Theta和Rho。这五个指标通常又被称作期权的希腊字母。在假设其他条件不变的情况下，每一个指标都用作衡量单一变量变化对期权价格的影响。专业的期权交易员经常使用这五个指标来观察、测算或者管理期权的价格变动以及持仓头寸的风险。本节内容安排如下，按单独每个希腊字母展开叙述。对于每个希腊字母，将按照如下步骤进行讨论。首先介绍该希腊字母的含义，以及它们的基本特征。其次，这些希腊字母如何随其他因素变动而变动。最后，本文将给出针对这些希腊字母的具体应用例子。本节中所使用的公式以及计算结果可以参考《系列二：期权价格特征及定价公式》中的公式（7）和公式（8）。在对定价公式求导的基础上，就可以得到本节中希腊字母的计算公式。)]()([21)(dKNdFNeCtTr−=−−)]()([12)(dFNdKNePtTr−−−=−−（一）Delta衡量期权关于期货合约价格变动的敏感性在《系列二》中我们已经知道，标的资产价格是影响期权价格的重要因素。通过期权定价公式对期货价格求一阶偏导数，就可以得到期权价格关于期货价格的敏感程度。正如前面《系列二》指出的，实际交易中更多的情况是使用期货来进行期权对冲。因此，这里定义的Delta实际是对期货价格变动的敏感性。)(1)(dNeFCDeltatTrCall−−=∂∂=()1)(1)(−=∂∂=−−dNeFPDeltatTrPut其中N()表示标准正态分布的累积分布函数，取值范围是0到1。因此看涨期权Delta为正，看跌期权Delta为负。从公式还可以看出，看跌期权Delta近似等于相同执行价相同到期期限的看涨期权Delta减去1。1、Delta和实虚值程度的关系看涨期权Delta的取值范围是0到1。平值附近接近0.5，随着实值程度加深而不断趋紧于1，随着虚值程度加深而趋向于0。而看跌期权的Delta，平值附近接近0.5，随着实值程度加深接近-1，虚值程度加深而接近于0。二者形状非常相似，但上下限却不同。图1看涨期权Delta00.10.20.30.40.50.60.70.80.91707580859095100105110115120125130股价（%）Delta实值虚值图2看跌期权Delta-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10707580859095100105110115120125130股价（%）Delta实值虚值注：两张图的横轴都表示期货价格相对执行价的百分比大小注意到图中分别用加粗的颜色实线表示到期时，期权当天的Delta值。可以看出随着期权临近到期日，Delta将分别向图中的箭头所指示的方向变化。值得一提的是，平价附近的Delta变动将非常大，同时到期日平价期权的Delta值接近正无穷。强调这一点是希望读者能记住，当使用期货或者现货进行Delta对冲时，随着到期日的临近，平价附近期权的Delta值变动将越来越剧烈，届时实施对冲将异常困难。2、Delta和存续期的关系随着到期日的临近，实值期权Delta的绝对值逐渐增加到1（看涨Delta趋向于1，看跌Delta趋向于-1），虚值期权Delta的值趋向于0。图3表示的是看涨期权Delta随存续期的减少而发生不同的变化。在观察这张图的时候，需要注意横轴表示存续期的多少。从时间的顺序看，应该是从右向左看。可以看到平值Delta一直保持在0.5附近水平。实值看涨Delta始终大于0.5，虚值Delta始终小于0.5。说明实值状态下的期权价格比虚值状态时候对标的资产价格或者对应期货合约价格的变动更加敏感。图3不同状态下看涨Delta随存续期减小而发生不同变化00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100110120130140150160存续期（天）Delta值平值实值虚值注：图中实值和虚值仅是举例，不代表真实情况下实虚值Delta具体的值，后面同从图3中还可以看到，Delta在距离0值的远端变化非常小，但是越临近到期日，曲线就会变得越陡峭。这说明Delta的变化在临近到期日时越来越剧烈。3、Delta和波动率的关系实值、平值和虚值期权对波动率的变化反应不同。当波动率增加时，实值状态期权的Delta绝对值会逐渐缩小，虚值状态期权的Delta值会逐渐变大。平值期权Delta绝对值对波动率敏感程度不高。看涨平值期权Delta始终在0.5附近，看跌平值期权Delta始终在-0.5附近。图4不同状态下看涨Delta随波动率变化而不同变化00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100110波动率（%）Delta值平值实值虚值考虑这样一种情形，假设标的价格不变，执行价格相同的期权，当波动率越大时，实际上期权距离平值附近的标准差距离就会越小，因此Delta就会越接近平值期权的Delta值。反过来，当波动率降低的时候，意味着平值、虚值和实值期权的Delta会越接近它们假设到期时的Delta。可以想象，当波动率降为0的时候，标的资产价格固定不变，那么期权的价值就会只剩下内涵价值，而时间价值为0了。因此随着波动率的增加，实值看涨期权Delta会从1逐渐降至0.5附近，虚值看涨Delta会升高至0.5附近，平值会略微上升，但幅度并不明显。例子1：Delta的含义2014年5月27日仿真合约OF1406-C-2150的价格是66.4，对应IF1406合约的收盘价为2142.2，假设无风险利率为5%。可计算出隐含波动率为32.78%，Delta值可计算为0.4979。这表示，如果其他因素不变，当IF1406合约价格上升10个点，仿真期权合约OF1406-C-2150将会上升0.4979x10≈5.0点。反过来IF1406合约价格下降10个点，该期权合约也会下跌5.0点。另一个应用是从Delta判断期权的价值状态。从该期权的Delta值比较接近0.5且略小于0.5也能看出，该期权是一个略微虚值但接近平值附近的看涨期权。如果该期权的Delta是-0.4979，那就是略微虚值的看跌期权。（二）Gamma衡量期权Delta关于期权价格变化的敏感性从数学的角度来说，Delta是期权价格关于标的资产价格或者期货合约价格的一阶偏导，那么再对Delta求关于标的资产价格或者期货合约价格的导数，即二阶偏导数，就是Gamma。具体计算公式为tTFdNeFCGammatTrCall−′=∂∂=−−σ)(1)(22CallPutGammaGamma=其中N’()表示标准正态分布的概率密度函数。对于相同执行价格相同到期日的看涨和看跌期权，它们的Gamma值相同。且由于右边所有变量都为正数，因此Gamma始终大于0。关于Delta和Gamma的含义可以从图5中了解到。Delta衡量的是期权价格随着标的资产价格变化而变化的大小，在几何上表示为图中期权价格曲线切线的斜率。而Gamma衡量的是非线性的变化，利用Delta和Gamma可近似算出当标的资产价格变化时，期权价格变化的多少。图5Delta和Gamma示意图0501001502002503003504004502000210022002300240025002600理论价格DeltaDelta&GammaDelta效应Gamma效应另一方面，Gamma也同时衡量Delta变化的大小。对于一些波动率交易者来说，他们需要时刻保持Delta中性。然而Delta会随着标的资产价格变化而变化，此时就需要Gamma来进一步缩小Delta对冲的误差。也就是同时要做到Gamma中性。1、看涨和看跌Gamma相同从前面公式可以看到，两个相同执行价、相同到期日的看涨和看跌期权，它们的Gamma应该相同。（实际中由于隐含波动率不同而有些微的差别）。如图6，在图形上它们始终保持一致。从平价公式可以看出，看涨和看跌期权的Delta满足二者之差接近恒等于1。而Gamma衡量的是Delta关于标的资产价格的敏感程度，所以当看涨Delta发生变化时，看跌期权的Delta也必须发生相同幅度的变化，才能保证二者之差不变。所以从平价公式的角度来看，看涨期权和看跌期权的Gamma应该保持一致。图6看涨或者看跌Gamma相同00.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05707580859095100105110115120125130股价（%）Gamma从图6还能看出，Gamma值始终为正，平价附近的Gamma值最大，随着实值额和虚值额增加而逐渐递减到0。同时平价附近的衰减速度要更快。因此在平价附近，如果要保持Delta中性，难度更大，需要更频繁的调整头寸。2、Gamma和存续期的关系实值和虚值期权的Gamma值在30天以前的变化非常小，仅会略微的上涨，而随着到期日的临近开始快速地下降。这是因为在接近到期日的时候，实值期权的Delta绝对值快速接近1，虚值期权的Delta绝对值则快速下降至0。因此当到期日临近时，Gamma值会逐渐收敛到0。而平值期权的Gamma值则随着到期日的临近，只会不断增加。在到期日当天会接近正无穷。由于到期日当天平价附近的Delta倾向于正无穷，所以Gamma也会倾向于正无穷。尤其是在到期日前夕，Gamma值非常大，Delta会发生剧烈的变化。如果以30天前的实值期权为例，此处标的指数价格涨跌1%，引起的Delta变化只有0.02个点。而考虑另一种情形，如果到期前的某个时候，期权从略虚值转变为略实值，意味着Delta绝对值从接近0变为接近1，此时的Gamma将会非常大，从图上看是接近于正无穷。因此对于期权的Delta对冲来说，在20天甚至更早的时候提前移仓是必要的。而临近到期日，对冲的成本将可能剧增。图7Gamma和存续期之间的关系00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10102030405060708090100110120130140150160存续期（天）Gamma值平值实值虚值3