期权的二叉树定价模型

1期权的二叉树定价模型•在实际的金融市场中最为关键的问题是：在一定条件下，期权价格的合理取值应为多少？•本节将讨论标的资产为离散和连续情形下的欧式看涨期权（calloption）定价问题。为期权进行准确估值的一个常用方法是构造二叉树图。这个二叉树图能够描述标的资产（股票）在期权的有效期内所可能够遵循的路径。2一、单期二叉树模型•1．二叉树模型的例子•首先我们看下面的一份例子。•假设某种股票的当前价格为$20，并且能够知道三个月后，股票的价格后的可能取值为两个$22或$18。假设股票不付红利，我们将对三个月后以$21执行价格买入股票的欧式看涨期权进行估值。•根据期权合约的定义，很容易计算得到下面的结果：在期权的到期日，如果股票价格为$22，则期权的价值将是$1；如果股票价格为$18，则期权的价值将是0。3•股票和期权的取值情况如图所示4根据无套利定价的思想为期权定价•在无套利假设条件下，如何利用二叉树模型为期权定价。•我们将构造股票和期权的投资组合，特别的，将股票和期权分别取适当的头寸，我们将能够构造出一份期权和相应股票头寸的无风险组合，从而无风险组合的价值在三个月末是确定值。•由于该组合无风险，根据无套利假设条件，所以该组合的收益率一定等于无风险收益率，由此我们可以得出有关期权价格的一个方程，求解该方程，就可以得出期权的价格。由于组合中只有两种证券（股票和股票期权），并且只有两个可能的结果，所以只要选择合适的股票和期权的比率，我们一定能构造出无风险组合。5构造下面的证券组合•该组合包含△股股票的多头头寸和一份看涨期权的空头头寸。•我们首先计算△值为多少时，所构造的组合为无风险组合。•当股票价格从$20上升到$22时，股票的价值为22△，期权的价值为$1，在这种情况下，该证券组合的价值为22△-1；当股票价格从$20下降到$18时，股票的价值为18△，期权的价值为零，在这种情况下，该证券组合的价值为18△。如果选取某个具体的△值，使得在两种情况下，组合最终的价值相等，则该证券组合一定是无风险组合。•即22△-1=18△，•求解可得：△=0.256•因此，按照上面求出的△值，我们可以构造下面的无风险证券组合为：–多头：0.25股股票–空头：一份看涨期权合约•如果股票价格上升到$22，该组合的价值为：•22*0.25–1=4.5•如果股票价格下跌到$18，该组合的价值为：•18*0.25=4.5•可以看到，无论股票价格怎样变化，最终是上升还是下降，在期权有效期结束时，我们构造的证券组合价值总是$4.5。7在无套利假设条件下，无风险证券组合的收益率一定为无风险利率。•假设无风险利率为年率12%。我们可以计算该组合的现在价值一定是$4.5，即：•我们用f表示期权的价格。已知股票现在价格为$20，因此该组合现在的价值为：•20*0.25–f=5–f•于是5–f=4.367•求解可得f=0.633•在无套利假设条件下，期权的价值一定为$0.633。8•如果期权的价值超过了$0.633，投资者构造该组合的成本就有可能低于$4.367，并将获得超过无风险利率的额外利润，这与无套利假设条件矛盾；如果期权的价值低于$0.633，投资者可以通过卖空该证券组合来获得低于无风险利率的资金，这与无套利假设条件矛盾。92期权的二叉树计算公式推导•考虑一种不支付红利的股票，股票现在价格为S，以该股票为标的资产，有效期为T的某个期权的价格为f，假设在未来T时刻股票的价格只有两种取值情况，股票价格或者从S上升到一个新的价格，或者从S下降到一个新的价格(其中：u1,d1)，即当股票价格向上变化时，股票价格增长的比率为u-1；当股票价格向下变化时，股票价格减少的比率为1-d。•在期权的有效期T时间，我们可以根据股票的取值情况，计算期权的相应取值状况。当股票价格变化到Su时，我们假设期权的收益为fu；当股票价格变化到Sd时，我们假设期权的收益为fd。•利用前面例子的思想方法，我们可以利用股票和期权合约构造无风险证券组合。在证券的组合中，我们将选取△股的股票多头头寸和一份期权合约的空头头寸来组成证券组合。为使得该证券组合为无风险组合，我们需要计算股票的多头头寸数量△的具体取值。10股票价格和期权价格的单步二叉树图SufuSfSdfd•如果股票价格由S上升到Su，则在期权的到期日，该组合的价值为：Su△-fu•如果股票价格由S下降到Sd，则在期权的到期日，该组合的价值为：Sd△-fd11•要使得上述证券组合为无风险组合，则无论股票价格是上升还是下降，在期权的到期日，上述的两个取值应该相等，即Su△-fu=Sd△-fd•整理可以得到udSuSdff（1）12当组合中股票的△取值为时•所构造的组合一定是无风险组合，根据无套利假设条件，组合的收益一定为无风险利率。•我们用r表示无风险利率，则该组合的现值为：••而该组合的初始价值为S△-f，因此•将△代入上式可以得到•其中SdSuffdududeprT[(1)]rTudfepfpf()rTuSufe()rTuSfSufe（2）（3）13利用单期二叉树模型公式估计期权的价值•假设u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,fu=1，fd=0。由公式可得p=(e0.03-0.9)/(1.1-0.9)=0.6523•期权的价值为•这个结果与前面的计算结果相同。0.12*0.25f=e(0.6523*1+0.3477*0) =0.633143期权的风险中性定价•我们注意到，二叉树期权计算公式没有用到股票上升和下降的概率。例如，当上升概率是0.5时，计算得到的欧式期权价格，与上升概率为0.9时，计算得到的欧式期权价格相等。直观上，人们很自然的会想到，如果股票价格上升的概率增加，则基于股票的看涨期权价值也会增加，看跌期权的价值会减少。事实上，情况并非如此。•虽然我们不需要对股票价格上升和下降的概率作任何假设，在期权计算公式中，可以将变量p解释为股票价格上升的概率，于是变量1-p就是股票价格下降的概率。•15•为期权的预期收益。按照这种对p的解释，于是公式表示的含义为：期权的现值就是未来期权的预期值按无风险利率的贴现值。[pfu+(1-p)fd][(1)]rTudfepfpf16当上升变化的概率假设为时，我们考察一下股票的预期收益。•在T时刻预期的股票价格，由下式给出：•将p的表达式代入上式，化简得：•上式说明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。因此，假设上升变化的概率等于等价于假设股票收益为无风险利率。duTfppSSE)1()(()rTTESSe（4）17所有投资者是风险中性的世界，称为风险中性世界（risk-neutralworld）。•在这样的世界中，投资者对风险不要求补偿，证券市场上所有证券的预期收益都假设是无风险利率。公式（4）说明:当我们设定上升变化的概率为时，我们就在假设所有投资者都是风险中性。公式（2）说明：在风险中性世界中，给期权定价时，我们可以假设证券市场上所有证券的预期收益都是无风险利率，期权的价值是其预期收益按无风险利率的贴现值。18利用风险中性定价法计算上面例题•已知股票现价为$20，三个月末股票价格可能上涨到$22或下降到$18。本例中所考虑的期权是一份执行价格为$21，有效期为三个月的欧式看涨期权，无风险利率是年率12%。•在风险中性假设条件下，股票价格上升变化的概率是p。在这样的世界中，股票的预期收益率一定等于无风险利率12%。这意味着一定满足：22p+18(1–p)=20e0.12*0.25p=0.6523。•在三个月末尾，看涨期权价值具有$1价值的概率为0.6523，价值为零的概率为0.3477。因此，看涨期权的期望值为：0.65231+0.34770=$0.6523•利用无风险利率进行贴现，可以得到该期权的价值为:0.6523e-0.12*0.25=0.633•这一计算结果与前面所得结果相同，这说明利用无套利理论和风险中性定价方法计算的结论相同。19二、二叉树模型的应用•显然，假设在期权有效期内股票价格的变化并只是由单期或两期构成，并不符合金融市场上股票价格的实际变化情况。所以我们所列举的二叉树图模型都是非现实的情况，因此根据二叉树期权计算模型，计算出的期权价格只能是实际期权价格的近似值。•在实际中应用二叉树图方法时，为使得计算的期权价格更为实际，我们通常将期权有效期分成30或更多的时间段。在每一个时间段，就有一个二叉树股票价格变化图形。30个时间段意味着最后有31个终端股票价格（terminalstockprices），并且有230即大约10亿个可能的股票价格路径。•