2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第6讲 函数的性质(二)――奇偶性、周期性、对称

理解函数奇偶性，周期性与对称性的概念，掌握函数奇偶性的判定方法及图象特征，掌握周期性的判断方法，能综合应用函数的性质解决相关问题．_______________________1_______2_____________________00_____________________________2_1fxfxfx一般的，如果①，都有②，那么函数就叫做奇函数；都有③，那么函数就叫做偶函数．奇函数的图象是关于④成⑤对称图形．若奇函数的定义域含有数，则必有＝⑥；偶函数的图象是关于⑦成⑧对称图形，对于定义域的任意的值，则必有⑨．．______.___________________________________3_.fxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgx定义域在数轴上关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的⑩条件；在定义域的公共部分内，当，均为奇函数时，有是，是；当，均为偶函数时，有是，是．111213144．函数的对称性如果函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于直线⑮______对称．一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的对称轴方程是⑯______.5．函数的周期性函数的周期性的定义：设函数y＝f(x)，x∈D，若存在非零常数T，使得对任意的x∈D都有⑰________，则函数f(x)为周期函数，T为y＝f(x)的一个周期．若函数f(x)对定义域中任意x满足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝－1fx(a≠0)，则函数f(x)是周期函数，它的一个周期是⑱________.【要点指南】①对于函数定义域内任意一个x；②f(－x)＝－f(x)；③f(－x)＝f(x)；④原点；⑤中心；⑥0；⑦y轴；⑧轴；⑨f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；⑩必要不充分；⑪奇函数；⑫偶函数；⑬偶函数；⑭偶函数；⑮x＝a；⑯x＝a＋b2；⑰f(x＋T)＝f(x)；⑱2a1.下列函数中，所有奇函数的序号是(2)(3)(4).(1)f(x)＝2x4＋3x2;(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝lg1－x1＋x；(4)y＝sinx＋tanx.【解析】利用奇函数定义判断，易知(2)(3)(4)是奇函数．2.若函数f(x)在(4，＋∞)上是减函数，且对任意x∈R，有f(4＋x)＝f(4－x)，则()A．f(2)f(3)B．f(2)f(5)C．f(3)f(5)D．f(3)f(6)【解析】由已知，y＝f(x)的图象的对称轴为x＝4，又y＝f(x)在(4，＋∞)上递减，所以f(3)＝f(5)f(6)，故选D.3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12【解析】由已知，f(－x)＝f(x)，所以ax2－bx＝ax2＋bx，即bx＝0对定义域内一切x均成立，故b＝0.4.已知函数f(x)＝a－12x＋1，若f(x)是奇函数，则a＝12.【解析】因为f(x)＝a－12x＋1是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以a－12－x＋1＋a－12x＋1＝2a－(2x2x＋1＋12x＋1)＝2a－1＝0，故a＝12.5.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且满足f(x＋2)＝－1fx，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝2.5.【解析】因为f(x＋2)＝－1fx，所以f(x＋4)＝－1fx＋2＝－1－1fx＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)是偶函数，所以f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.一函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝1－x2|x＋2|－2；【解析】(1)由1－x1＋x≥0，得－1x≤1，所以函数f(x)＝(x＋1)·1－x1＋x的定义域是(－1,1]，不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数．(2)所以函数f(x)的定义域是{－1,1}，此时f(x)＝0，所以f(x)＝1－x2＋x2－1既是奇函数又是偶函数．(3)，解得－1≤x0或0x≤1，它关于原点对称，且此时|x＋2|－2＝x＋2－2＝x，从而f(x)＝1－x2x，从而f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)，所以f(x)＝1－x2|x＋2|－2是奇函数．(4)当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(x)＝0＝－f(－x)．综上有，对一切实数x，f(－x)＝－f(x)恒成立，【点评】判断函数的奇偶性，首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对定义域内任意的x，是否有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，必要时，应对函数作一些变形化简，而对于较复杂的函数，可以变式计算f(－x)±f(x)的值．若f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数；若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数．已知f(x)＝x＋ax2＋bx＋1(－1≤x≤1)是奇函数，求a＋b的值．素材1【解析】因为f(x)＝x＋ax2＋bx＋1(－1≤x≤1)是奇函数，所以f(0)＝a＝0，从而f(x)＝xx2＋bx＋1(－1≤x≤1)．而上式的分子是奇函数，要使函数f(x)是奇函数，其分母g(x)＝x2＋bx＋1必为偶函数，由g(－x)＝x2－bx＋1＝g(x)＝x2＋bx＋1，得b＝0.故a＋b＝0.二函数奇偶性的应用【例2】若f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3在(0，＋∞)上的最大值是8，求f(x)在(－∞，0)上的最小值．【分析】注意到g(x)＝x5＋ax3＋bx是奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0.【解析】当x0时，f(x)≤8，则当x0时，－x0，f(－x)≤8，设x∈(－∞，0)，则f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3＝－[(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＋3]＋6＝－f(－x)＋6≥－8＋6＝－2.所以f(x)在(－∞，0)上的最小值是－2.【点评】函数的奇偶性是函数重要性质之一，奇偶性常与函数的单调性、最值以及周期性结合在一起，进行综合应用．(1)已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，且F(－2)＝5，则F(2)＝1；(2)已知函数f(x)＝x3＋sinx的定义域为(－1,1)，则满足不等式f(a2－1)＋f(1－2a)0的a的取值范围是(0,1).素材2【解析】(1)因为f(x)与g(x)都是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以F(x)＋F(－x)＝af(x)＋bg(x)＋3＋a[－f(x)]＋b[－g(x)]＋3＝6，所以F(x)＝6－F(－x)，所以F(2)＝6－F(－2)＝6－5＝1.(2)因为f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1,1)是奇函数，且单调递增，所以f(a2－1)＋f(1－2a)0，即f(a2－1)f(2a－1)．三函数的周期性及应用【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x＝1对称，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．【解析】(1)因为y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)．因为f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)因为x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.设x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]，又f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x)＝f(x－4)＝2(x－4)＋(x－4)2＝2x－8＋x2－8x＋16＝x2－6x＋8.即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)由x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，可得f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，又x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8，可得f(3)＝－1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，而f(x＋4)＝f(x)，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]×503＝0.【点评】判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数其他性质综合．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足：①f(x)＝f(2－x)；②当0≤x≤1时，f(x)＝x2.(1)判断函数f(x)是否是周期函数；(2)求f(5.5)的值．素材3【解析】⇒f(x)＝f(x＋2)⇒f(x)是周期为2的周期函数．(2)f(5.5)＝f(2×3－0.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝0.25.四函数性质的综合应用【例4】定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x、y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)且f(0)≠0.(1)求证：f(0)＝1；(2)判断y＝f(x)的奇偶性；(3)若存在正常数C，使f(C2)＝0.①求证：对任意x∈R，有f(x＋C)＝－f(x)成立；②试问函数f(x)是不是周期函数？如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由．【分析】(1)用赋值法；(2)依题设构造f(－x)与f(x)的关系；(3)存在型问题，可由存在入手推导相关结论．素材4备选例题