工程力学基础 国防工业出版社 江苏大学课件 材料力学 第9章

12§9–1概述§9–2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图§9–3切应力互等定理与剪切胡克定律§9–4圆轴扭转横截面上的应力§9–5极惯性矩与抗扭截面系数§9–6圆轴扭转破坏与强度条件§9–7圆轴扭转的变形·刚度条件第九章扭转34受扭转载荷的构件15受扭转载荷的构件2汽车中的转向轴6受扭转载荷的构件3机器中的传动轴7受扭转载荷的构件48§9–1引言轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA9扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（）：直角的改变量。mmOBA10工程实例11§9–2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.mm)(kN1217nP.m其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，公制马力（PS）n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（HP）n—转速，转/分（rpm）1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS123扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2截面法求扭矩mmmTmTmTmx00x134扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算(危险截面)。xT14[例1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2m3m1m4解：①计算外力偶矩m)15.9(kN3005009.5555911nP.mm)(kN7843001509.55559232.nP.mmm)(kN3763002009.5555944.nP.m15nABCDm2m3m1m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）mkN78.40,02121mTmTmxmkN569784784(,0322322.)..mmTmmTmkN37.6,0-4243mTmTx16③绘制扭矩图mkN569max.TBC段为危险截面。xTnABCDm2m3m1m44.789.566.37––17§9–3切应力互等定理与剪切胡克定律薄壁圆筒：壁厚0101rt（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。182.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。19各横截面的大小形状间距不变，并仍然保持为平面。可假设各横截面绕轴线发生刚性转动。所以横截面上无正应力，只有切应力并且切应力与圆周相切。由于壁比较薄，可认为切应力和切应变沿壁厚均匀分布。由于沿周向变形无变化，可认为切应力沿周向也不发生变化。切应力分布规律和变形规律已经得到,切应力和扭转变形分别为多大?T20acddxbdy´´①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4.与的关系：LRRL微小矩形单元体如图所示：L21二、薄壁圆筒剪应力大小：tATtrTTtrrArTrAAA222dd0200000A0：平均半径所作圆的面积。22三、剪应力互等定理：0故dxdytdxdytmz上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´tz23四、剪切虎克定律：单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。l24T=m)()2(0RLtAT剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。25G式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。)1(2EG26由于G是材料常数，薄壁圆筒的扭转角和剪应变可以通过扭矩表示出来：02GATGrGATLrL02薄壁圆筒求解小结实验观察几何特征周向线大小形状间距均不发生变化.纵向线发生小角度倾斜.倾斜角度沿圆周相同.端部仍然为平面.无正应力,只有切应力且与圆周相切.切应力沿圆周均匀分布.各横截面发生刚性转动.薄壁圆筒,可认为应力,应变沿厚度无变化.静力平衡求得切应力(扭矩已知)剪应变和扭转角之间的关系.物性实验得到扭矩和扭转角之间的线性关系.对于线性材料引入剪切模量(材料常数,需事先给定)变形大小27§9–4圆轴扭转截面上的应力扭转圆轴横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：28二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为任一点处的与该点到圆心的距离成正比。xdd——扭转角沿长度方向变化率。292.物理关系：虎克定律：代入上式得：GxGxGGddddxGdd303.静力学关系：AxGAxGATAAAddddddd22AIApd2令xGITpddpGITxdd代入物理关系式得：xGddpITOτpdA31pIT—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。—该点到圆心的距离。Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。32⑤确定最大剪应力：pIT由知：当max,2dR)2(22maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。33④应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。34静力方程ATdA)(ApdAI2RIWpTpGITdxdpITTWTmax物理方程G几何方程dxd变形计算公式应力计算公式最大应力公式结论横截面外圆周上点的剪应力和剪应变最大圆轴扭转时，横截面上一点剪应力和剪应变与该点的极坐标呈比例横截面最大剪应力与横截面的抗扭截面模量成反比扭转刚度横截面扭转变形（单位长度扭转角）与横截面的扭转刚度成反比抗扭截面模量35ApdAI2RIWpT)/(1800mGITdxdppITTWTmaxmax画轴的扭矩图极惯性矩和抗扭截面模量的计算确定可能的危险截面计算危险（最大）点应力求出最大剪应力计算两截面相对扭转角计算最大单位长度扭转角lpGIdxxT)(pGIlTpiiiGIlT36例2一空心圆轴如图2.13（a）所示，在A、B、C处受外力偶作用。已知，，，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大剪应力；（2）C截面相对A截面的扭转角150NmAM50NmBM100NmCMmaxAC画轴的扭矩图解：A、B可能为危险截面max150kNm,100kNmABMMM计算危险（最大）点应力TAAAWTmax))24/18(1(024.0161015043380.8MPa37max86.7MPa86.7MPa...0.069radTBBBWTmax))22/18(1(022.01610100433所以，计算扭转角21ipiiiACGIlT例2一空心圆轴如图2.13（a）所示，在A、B、C处受外力偶作用。已知，，，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大剪应力；（2）C截面相对A截面的扭转角150NmAM50NmBM100NmCMmaxAC38单位：mm4，m4。AIApd2③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。4420221032d2dD.DAIDApa.对于实心圆截面：DdO§9–5极惯性矩与抗扭界面系数39b.对于空心圆截面：)1(10)1(32)(32d2d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd40Ip＝d432Wp=d316Ip＝D432(1-4)Wp=D316(1-4)=d/D对于实心圆截面对于圆环截面41低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。§9–6圆轴扭转破坏与强度条件一、扭转失效与扭转极限应力42在扭转实验中，塑性材料试件受扭时，首先屈服，在试件表面出现横向与纵向的滑移线，继续增大扭转力偶，试件沿横截面剪断；脆性试件没有变形很小，最后会在与轴线成45o角的螺旋面发生断裂。扭转破坏：标志：屈服或是断裂扭转屈服应力：扭转极限强度：扭转极限应力统称为43二、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。441.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)´´(c)2.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d)´x45(d)´xnt转角α规定：x轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“–”由平衡方程：0)cossind()sincosd(d;0AAAFn0)sinsind()coscosd(d;0AAAFt解得：2cos;2sin462cos;2sin分析：当=0°时，max00,0当=45°时，0,45min45当=–45°时，0,45max45当=90°时，max9090,0´45°由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。47s对于塑性材料,当横截面上的切应力达到时,试件发生显著的塑性变形,称为扭转屈服极限。ss对于脆性材料，试件在破坏前扭转变形很小,当切应力达到时,材料沿45度螺旋面断开。称为扭转强度极限。bb48三、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：][max][maxtWT([]称为许用剪应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：][maxmaxtWT][maxTWt][maxtWT）（空：实：43311616DDWt49四、圆轴的扭转的强度条件nu][材料的扭转许用剪应力材料的扭转极限剪应力安全系