工程力学扭转变形

第三章扭转变形杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,杆件的横截面绕轴线产生相对转动。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。扭转受力特点及变形特点:§3.1扭转的概念和实例KMKMAB如图，圆轴在外力偶作用下发生扭转变形。称为扭转角。称为剪切角。汽车方向盘§3.1扭转的概念和实例汽车传动轴§3.1扭转的概念和实例背景材料背景材料直接计算1.外力偶矩§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶作功完成：1000(Nm)WP602nMWe已知轴转速－n转/分钟输出功率－P千瓦求：力偶矩MePP§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图T=Me2.扭矩和扭矩图§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图用截面法研究横截面上的内力扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图KMKMmm如图求圆轴指定截面的内力。由截面法：（1）截开，留下左半段，去掉右半段；（3）考虑留下部分的平衡0:0KxMTMKMT同样，亦可留下右半段作为研究对象，可的同样的结果，如图。扭矩的符号规定：自截面的外法线向截面看，逆时针为正，顺时针为负。KMmmT（2）用内力代替去掉部分对留下部分的作用；T称为扭矩。KMmmT解:(1)计算外力偶矩由公式Pk/n(2)计算扭矩(3)扭矩图8kNm3526画出以下结构的扭矩图（单位：kNm）。Tx3kNm6kNm动脑又动笔分析与讨论3526562325632356从轴的扭转强度考虑，哪一种布置最合理？（单位：kNm）§3.3薄壁圆管的扭转薄壁圆筒：壁厚0101rt（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②两端施加一对外力偶m。§3.3薄壁圆管的扭转2.实验后：①圆周线不变；②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度。②纵向线变成螺旋线。3.结果：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面假设。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。§3.3薄壁圆管的扭转rKMKM薄壁圆管扭转时横截面上的剪应力如图所示，借助实验观察结合理论分析，可得如下结论：（1）横截面上只有剪应力，没有正应力；（2）剪应力的方向沿圆周的切线方向。KMx薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。§3.3薄壁圆管的扭转用截面法，考虑一部分圆管的平衡：020220:0AMrMMTmKKKx得KMxtATtrTTtrrArTrAAA222dd0200000A0为平均半径所作圆的面积。§3.3薄壁圆管的扭转二、剪应力互等定理acddxbdy´´tzdxdytdxdytmz;0'这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。§3.3薄壁圆管的扭转该定理具有普遍性，不仅对纯剪切应力状态下成立，对正应力和剪应力同时作用的单元体亦成立。单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。acddxbdy´´tz§3.3薄壁圆管的扭转P三、剪切虎克定律acddxbdy´´tz单元体ab的倾角称为切应变，切应变是单元体直角的改变量。实验表明，在弹性范围内，切应力与切应变成正比，即G这就是剪切虎克定律，比例常数G称为剪切弹性模量。§3.3薄壁圆管的扭转三、剪切虎克定律剪切弹性模量G、与弹性模量E和泊松比一样，都是表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，就可求出第三个来。)1(2EG3.4圆轴扭转时横截面上的应力推导思路几何关系(平截面假设)物理关系(Hooke定律)力学关系(切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩)切应变与相对转角之间的关系切应力与相对转角之间的关系相对转角表达式及切应力表达式圆轴扭转的平截面假设圆轴横截面在扭转时始终保持是平面。圆轴横截面上的半径在扭转时始终保持是直线。切应力公式推导dxdxdxdx1几何关系(平截面假设)dxRAdxRA在外表面处的切应变tanxAAdxRdd在离轴心r处的切应变xrrdd)(2物理关系(Hooke定律))()(rGrxGrdddxRA变形前位置dxdRAAdxdRAA变形后位置dxRArdA(r)是外表面沿轴线方向上的切应变。d是前后两个端面的相对转角。3、静力方面如图所示，在整个横截面上，所有微力矩之和等于该截面的扭矩，即TdAAdxdGG将代入上式，得dAdxdGdAdxdGdATAAA2令，称为横截面对圆心的极惯性矩。于是dAIAP2dxdGITPO2ρdAdAbTdxdGG而:PIT令抗扭截面系数32242032DddAIDAPdAIAP2由，对于圆，如图，则三、极惯性矩抗扭截面模量OdDddA2163maxDIWPpODd对于空心圆)1(32)(324444DdDIP3444()(1)1616pDWDdD其中。Dd剪应力分布图如图。力学家与力学史圆轴扭转的切应力公式是由Coulomb于1784年首先建立的。Coulomb是法国物理学家、力学家。他在摩擦学、电磁学、粘性流体等方面有重要贡献。Charles-AugustindeCoulomb(1736-1806)Kulun•库仑法国物理学家。1736年6月14日生于昂古莱姆，1806年8月23日卒于巴黎。中学毕业后参加工程部队去国外工作，1772年返回法国从事材料强度和摩擦定律的研究。1777～1784年研究头发、金属丝和其他细丝的扭转规律，发明了扭秤（这种秤用于测量机械的、电的或磁的相互作用力）。1781年被选为巴黎科学院院士。1785～1789年库仑发表七篇回忆录，提出了关于电荷与磁极相互作用的定律──库仑定律。库仑指出，电荷始终分布在导体的表面。库仑的实验工作对于建立电磁现象的理论有很重要的意义。为纪念他，人们以库仑作为电荷量的单位。§3.5圆轴扭转时的应力和强度条件例2图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm。外力偶矩为MKA=22kN.m,MKB=36kN.m,MKC=14kN.m。已知材料的许用剪应力，试校核该轴的强度。MPa80ABCKAMKBMKCM解：用截面法求得AB、BC的扭矩分别为mkNTmkNT142221扭矩图如图所示。mkN22mkN14图T3611max312210:64.81064.8(0.12)16pTABPaMPaW段3622max321410:71.31071.3(0.1)16pTBCPaMPaW段故，该轴满足强度要求。§3.5圆轴扭转时的应力和强度条件例3某传动轴，横截面上的最大扭矩Mn=1.5kN.m，许用剪应力，试按下列两种方案确定轴的截面尺寸，并比较其重量。（1）横截面为实心圆截面；（2）横截面为的空心圆截面。MPa509.0解：（1）确定实心轴的直径由强度条件，其中，得pTW316pDW330616161.51053.51053.55010pMDmmm33取。mmD540§3.5圆轴扭转时的应力和强度条件（2）确定空心轴的内、外径由强度条件，其中，得pTW34(1)16pDW3344616161.510761076(1)(10.9)5010pMDmmm33mmDd4.68769.09.0故取mmdmmD68,76（3）重量比较395.05468764)(42222022DdDAA实空重量比§3.6圆轴扭转时的变形和刚度条件一、扭转角的计算由上节知，所以，于是dxdGITPdxGITdPdxGITdP对于扭矩为常数的等截面圆轴，扭转角为PGITlPGI称为截面的抗扭刚度。§3.6圆轴扭转时的变形和刚度条件二、刚度条件(rad/m)ddpGITx(rad/m)maxpGIT/m)(180maxpGIT[]称为许用单位扭转角。若许用单位扭转角给的是，则上式改写为m/例4图示圆轴，已知mA=1kN.m，mB=3kN.m，mC=2kN.m；l1=0.7m，l2=0.3m；[]=60MPa，[]=0.3°/m，G=80GPa；试选择该轴的直径。ABCmAmBmCl1l22kN.m1kN.m⊕○解：⑴按强度条件maxmax316cpTmWdmmmdC4.55101060200016163363§3.6圆轴扭转时的应力和强度条件ABCmAmBmCl1l22kN.m1kN.m⊕○⑵按刚度条件/m)(180maxpGIT18032max4GTdIPmmGTd5.83103.0108018020003218032342942max该圆轴直径应选择：d=83.5mm.§3.6圆轴扭转时的应力和强度条件MPaPaWTt3.94103.941606.0104633111max§3.6圆轴扭转时的变形和刚度条件例5图示圆轴，AB段为实心圆截面，直径d1=60mm，BC段为实心圆截面，直径D=80mm，CD段为空心圆截面，内径d2=60mm，外径D=80mm，所受外力偶矩如图。各段杆的容许剪应力为。（1）试校核该轴的强度；（2）如材料的剪切弹性模量，求此轴总扭转角。MPa100MPaG4108mkN4mkN6mkN10m4.0m3.0m6.0解：（1）作扭矩图如图所示。mkN4mkN6图nMABCD（2）强度校核最大剪应力可能出现在AB段或CD段，其最大剪应力为§3.6圆轴扭转时的变形和刚度条件362max23426101687.31087.30.081(34)pTPaMPaWMPa3.941maxmax故满足强度条件。mkN4mkN6mkN10m4.0m3.0m6.0ABCD（3）求总扭转角CDBCABrad00626.032)43(108.01086.01063208.01083.01063206.01084.01044410341034103例6图示圆轴，已知mA=1.4kN.m，mB=0.6kN.m，mC=0.8kN.m；d1=40mm，d2=70mm；l1=0.2m，l2=0.4m；[]=60MPa，[]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。ABCmAmBmCl1l20.6kN.m0.8kN.m⊕○解：⑴按强度核该113113161660047.74BpTmWdMPa§3.6圆轴扭转时的变形和刚度条件ABCmAmBmCl1l20.6kN.m0.8kN.m⊕○223223161680011.97CpmTWdMPa满足强度条件。⑴按刚度核该mGITP/71.11