工程力学课件 13应力状态

第十三章应力状态分析§13–1应力状态的概念§13–2平面应力状态分析——解析法§13–3平面应力状态分析——图解法§13–4空间应力状态简介§13–5复杂应力状态下的应力--应变关系（广义虎克定律）§13–１应力状态的概念一、引言铸铁与低碳钢的拉、压、扭的破坏原因？P铸铁压缩铸铁扭转铸铁拉伸低碳钢扭转xy''x'x'y'切中有拉yxxyyxxy重要结论不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。MzFS微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。xy''x'yxxy三、单元体－－应力状态的表示：二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。单元体的性质a、任一面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。xyzxzyxyyxxzyzxyzxzyxy四、切应力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。0:zM单元体平衡证明0d)dd(d)dd(yxzxzyyxxyyxxyzx五、取单元体：例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。PPAAxxMPxyzBCxxBxzCxyyxPl/2l/2S平面54321543211x122x22333S平面4PlFMz2PF六、主单元体、主平面、主应力：主单元体(Principalbidy)：各侧面上切应力均为零的单元体。主平面(PrincipalPlane)：切应力为零的截面。主应力(PrincipalStress）：主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321123xyzxyz单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：三个主应力中，只有一个主应力不为零的应力状态。二向应力状态（PlaneStateofStress）（平面应力状态）三个主应力中，只有一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。AxxzxxxBxzyxzxyzxyyxyzzyzxxz§13–2平面应力状态分析——解析法等价xxyyxyzxyxxyyO应力状态分析的任务：1.任意斜截面上的应力。2.主应力的大小及主平面的方位。3.最大剪应力。规定：截面外法线同向为正；绕研究对象顺时针转为正；逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：Fn00cossinsinsincoscos22SSSSSyxyxyx一、任意斜截面上的应力xyxxyyOyxyxxyOn图2图1xyxxyyOyxyxxyOn图22sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx考虑切应力互等和三角变换，得：同理：02cos22sin:000xyyxdd令二、极值应力yxxy22tg0和两个极值：）、（由此得两个驻点：20101！极值正应力就是主应力00）2222xyyxyxji±（xyxxyyOxyxxyyO主单元体0;;0)1(321jiji31三、主应力大小及方向jiji321;;00)2(jiji321;0;0;0)3(yxxy22tg0yxyx10xyOnX00sincoscos001SSSxyoxxyx10tg0xyxxyyO0dd:1令xyyx22tg1222xyyxminmax±）（2'min'maxji主单元体31四、最大切应力01045,4面成即极值剪应力面与主平空间应力状态：231minmax231max例2分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画单元体求主应力及最大切应力0yxPnxyWM2222xyyxyxji）（2xyxyCyxMCxyOxyyx破坏分析321;0;451tg010xyx0022tg11xyyxMPa200;MPa240:ss低碳钢MPa300~198;MPa960~640MPa280~98:bybLb灰口铸铁低碳钢铸铁231maxxyyx主单元体310解：MPaxyyxyx5.172sin2cos22例3用解析法求斜截面上的应力。oxyy12003020MPaMPaxMPaxyyx65.212cos2sin220MPa30MPa300xyO例4用解析法确定图示应力状态的主应力大小、主平面方位、最大切应力。解：MPaMPaxyyxyxji86.1514.4421030)2(222,20MPa40MPa10MPaoxyxarctgarctg5.221014.444011086.1514.44321MPaMPa1x22.5o2MPa07.22231maxMPaMPaMPax102040xyyxyO§13–3平面应力状态分析——图解法cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy222222xyxyxy对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（StressCircle）xyxxyyOyxyxxyOn此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)AB与轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；xxyyxyOnOCA(x,xy)B(y,yx)x2nD(,xxyyxyOnOCA(x,xy)B(y,yx)x2nD(,三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)应力圆上一点(，)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2；且转向一致。xxyyxyOnOCA(x,xy)B(y,yx)x2nD(,三、单元体与应力圆的对应关系200000cos(22)cos(22)cos2cos2sin2sin2cos2sin222DxyxyxyOCCDOCCAOCCACA0000sin(22)sin(22)sin2cos2cos2sin2sin2cos22DxyxyCDCACACA223122xyyxyxROC）（半径四、在应力圆上标出极值应力22minmaxminmax22xyyxR）（半径OCA(x,xy)B(y,yx)x21minmax201233例5求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150°AB12解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆012BAC20(MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点312BAC20(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图0201203213004532532595150°102AB2cos2sin2xyyx4532532595150°解法2—解析法：xyyxyMPa325MPa45?x2222xyyxyxji）（60°MPa325MPa956060xyOoox120cos325120sin245325MPax954532532595150°MPa325MPa45xyy2222xyyxyxji）（60°xyOMPax95MPaMPaji20120020120321MPaMPa300xyx10tg10295325zzxyIbQSzxIMy12345P1P2q例6如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），某截面上M、Q0，试确定此截面上各点主应力大小及主平面位置。解：由梁弯曲应力公式：02222231xyxx）（xyyxx113331311350–45°0A1A2D2D1COA2D2D1CA1O20D2A2CD1O20=–90°D2A1O20CD1A2A2D2D1CA1O三向应力状态的应力圆面内最大切应力与最大切应力13-4三向应力状态简介平面应力状态作为三向应力状态的特例xyxyyx至少有一个主应力及其主方向已知yxyyxxz三向应力状态特例的一般情形z定义：三个主应力都不为零的应力状态；123三向应力状态的应力圆xyx由2、3可作出应力圆I32I三向应力状态特例分析I1平行于1的方向面－其上之应力与1无关23由1、3可作出应力圆IIII13三向应力状态特例分析III23xyxO2平行于2的方向面－其上之应力与2无关.31IIIxyxO3由1、2可作出应力圆IIIIII21三向应力状态特例分析III21平行于3的方向面－其上之应力与3无关3三向应力状态特例分析III3III21Oxyx面内最大切应力和最大切应力Oxyxzpypxp213Oxyx32zpypxp23面内最大切应力和最大切应力zpypxp131Oxyx32面内最大切应力和最大切应力zpypxp2111Oxyx32面内最大切应力和最大切应力zpypxp213Oxyx132面内最大切应力和最大切应力Oxyx221232231在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：面内最大切应力和最大切应力321Oxyx一点处应力状态中的最大切应力只是、、中最大者，即: