工程力学课件第九章续

1mmpdTdxGI§9.5圆轴扭转变形与刚度计算2GIp－抗扭刚度pdTdxGI由p()()lTxdxGIx满足平面假设的圆轴：pTlGIT=Const，等截面圆轴：1pniiiiTlGITi，Ipi在各段内为常数的轴：一、圆轴扭转变形公式mm3对于长为l，T=Const，等截面薄壁圆管，扭转变形为：R0302TlGR等截面薄壁圆管扭转变形公式4p(rad/m)dTdxGI单位长度扭转角：定义：单位长度许用扭转角为[]。圆轴扭转的刚度条件为：pmax[](rad/m)TGIpmax180[]/mTGIormaxp[](rad/m)TGImaxp180[]/mTGIor等截面圆轴扭转的刚度条件为：二、圆轴扭转刚度条件5传动轴图所示。主动轮A输入功率PA=36kw，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速为n=300r/min，许用切应力为[]=50MPa，切变模量为G=80GPa，单位长度许用扭转角为[]=0.5()/m。试确定：实心圆截面轴的直径d0；【例题1】6解：1.计算作用于各轮上的扭力矩nPm9549（N.m）N－KW，n－转／分36954995491146Nm300AAPmn9549350NmBBCPmmn9549446NmDDPmn72.用截面法求各段内的扭矩3.作扭矩图1350NmTmB+T1=02700NmTmB+mC+T2=03446NmT-mD+T3=084.确定最大扭矩2max700TTNm5.强度设计maxmaxp[]TW30p16dWmax33061616700(Nm)0.04147m5010(Pa)Td96、刚度设计2max4max0p180180[]32TTdddxGIG7、因此，需按刚度条件确定圆轴直径，取244029232180327001800.0565m80100.5TdG056.5mmd10如图所示圆锥体的一部分，设两端的直径分别为d1和d2，d1端固支，长度为l。沿轴线作用均匀分布的扭力矩集度为m。试计算两端截面的相对扭转角。【例题2】md1d2xl11解：设距左端为x的任意横截面的直径为d(x)，按比例关系可得此横截面上的扭矩为此横截面的极惯性矩为md1d2xl12221ddxdddl444212p213232ddddxIdlTmx12单位长度上的扭转角在0到l区间内积分，得md1d2xl4p41222321TmxddxdxGIddxGddl2244220212112232161231ldmxmldxGdGdddddxdl13设有A、B两个凸缘的圆轴，在扭力矩m的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除m。设轴和圆筒的抗扭刚度分别是G1Ip1和G2Ip2，试求轴内和筒内的扭矩。【例题3】mmAB三、圆轴扭转静不定问题14解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加扭力矩m解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作用，平衡方程为T1-T2=0一度静不定问题，应在寻求一个变形协调方程。mmT1T2T1T215焊接前轴在m作用下的扭转角为11pmlGImmT1T22112变形协调条件2222pTlGI1111pTlGI16T1T221121p12p21p1TlTlmlGIGIGI1p1mlGI222p2TlGI111p1TlGI2p2121p12p2mGITTGIGIT1-T2=017§9.6非圆截面杆的扭转mm农业机械中的方轴柴油机曲柄的受扭截面为矩形18一、自由扭转与限制扭转自由扭转限制扭转试验19边界切应力平行于边界角点切应力为零二、边界及角点切应力n0nn20max21max3ttTTWhbTlTlGIGhb三、矩形截面轴扭转21max2333ThTlGh狭长矩形截面max23ttTTWhbTlTlGIGhb22maxttTTlWGIabaa332221616ttabIababW4338020ttaIaW20.1330.217ttIaAWaAA为横截面面积四、椭圆等非圆截面轴扭转23材料、横截面积与长度均相同的三根轴，截面分别为圆形、正方形和矩形，且矩形截面的长宽比为2:1。若作用在三轴两端的扭力矩M亦相同，试计算三轴的最大扭转切应力及扭转变形之比。adhbmax=1:1.356:1.622=1:1.129:1.39【例题4】24截面中心线：薄壁杆横截面的壁厚平分线。闭口薄壁杆开口薄壁杆§9.7薄壁杆自由扭转25剪流：=Const,截面中心线单位长度上的剪力一、闭口薄壁杆的扭转应力1、剪流26dTds2TT2、切应力公式2maxminTTds227tGITl24tIds能量法22dVdsdxG22228llTVdsdxdsdxGG22tTlVGI式中：=W=T/2T为常数的等截面杆二、闭口薄壁杆的扭转变形2TTT228lTdsdxG28maxmax313133niiiniiiThTlGh123三、开口薄壁杆的扭转应力29如图所示为相同尺寸的闭口钢管和开口钢管，承受相同的扭矩T。设平均直径为d，壁厚为t，试比较两者的强度和刚度。【例题5】t(a)dt(b)d30解：1.对闭口薄圆环，，则24dAsda2222TTRtdta3342TlTlGRtGdt24tIdstGITl2Tt(a)d312.对开口薄圆环，可展开长度为h=d，宽度为t的狭长矩形，那么bb2333331133TtTTlTldtGdtdtGdt若取d=10t，则b=15a，b=75a。所以，工程中受扭杆件尽量避免采用开口薄壁截面。maxmax331133nniiiiiiTTlhGht(b)da22Tdta34TlGdt闭口薄圆环33这两种截面在扭转强度和刚度上相差如此之大的原因：截面上切应力分布不同。t(a)dt(b)dTT相同的扭矩，由于应力分布不同导致了应力大小差别。34课后练习思考：一等直圆杆，当受到轴向拉伸时，杆内会产生切应变吗？当受到扭转时，杆内会产生正应变吗？作业：