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专题三不等式、数列、推理与证明知识网络构建专题三│知识网络构建专题三│知识网络构建考情分析预测专题三│考情分析预测考向预测(1)不等式既是高考数学的主干知识，也是重要的工具性知识，从近几年的考查情况看，该部分主要是以选择题或者填空题的形式考查不等式的性质(往往和充要条件、命题等逻辑知识综合)，一元二次不等式的解法(与集合、函数等知识交汇)，基本不等式的应用，二元一次不等式所表示的平面区域，简单的线性规划和非线性规划问题，在试卷中一般是2～3个试题，试题的难度中等．对不等式的深入考查，则是在解答题的数列、解析几何和函数导数试题中，考查大小比较、不等式的证明、不等式的应用等．预计2012年该部分的基本考查方向不会发生变化．专题三│考情分析预测(2)数列定位于考查数列的基本问题和两类基本数列，试题的难度得到了有效的控制，基本上是属于中等难度试题，这是数列考查的大方向，虽然仍有部分省市把数列试题作为压轴题，但数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制．(3)推理与证明的主要考点，归纳推理和类比推理，各地的试卷中零星地出现过这类试题(如2011年陕西、山东等地)，试题的形式一般是填空题，归纳类比的对象一般也是很明确的，试题难度不大；预计2012年该部分的考查仍然是这样一个基本形势．专题三│考情分析预测备考策略(1)不等式部分重点掌握一元二次不等式的解法，特别是含有字母参数的一元二次不等式的解法，基本不等式求最值，二元一次不等式组所表示的平面区域，包括平面区域的形状判断、面积以及与平面向量有关的最值问题，简单的线性规划模型在解决实际问题中的应用．对不等式的深入复习要结合数列、解析几何、导数进行．(2)数列部分的重点是数列中an，Sn的关系，等差数列和等比数列，一般数列的求和(重点是裂项法和错位相减法)，数列的实际应用．在数列问题中要注意与不等式综合的题目，注意反证法和数学归纳法在解决数列试题中的应用，数列试题也是高考中考查推理与证明的一个舞台．(3)重点解决归纳推理、类比推理型试题，熟悉在什么情况下使用反证法和数学归纳法．(4)该专题中的三块内容既有其相对的独立性，也是紧密相连的，在复习中要从整体上，从数列、不等式、推理与证明的相互联系上把握该专题的内容．专题三│考情分析预测专题三│考情分析预测第8讲不等式及线性规划第8讲不等式及线性规划主干知识整合第8讲│主干知识整合1．不等式的基本性质2．一元二次不等式的解法解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根(如果有实数根)，再结合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集．第8讲│主干知识整合3．基本不等式不等式ab≤a＋b2(a0，b0)称为基本不等式，常见的与这个不等式有关的其他不等式有：a＋b≥2ab(a，b0)；ab≤a＋b22(a，b∈R)；2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b0)；x＋1x≥2(x0)；ba＋ab≥2(ab0)等．4．二元一次不等式组和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：约束条件、目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．要点热点探究第8讲│要点热点探究►探究点一一元二次不等式的解法例1[2011·广东卷]不等式2x2－x－1＞0的解集是()A.－12，1B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.－∞，－12∪(1，＋∞)第8讲│要点热点探究【分析】利用二次不等式的解法直接求解得出不等式的解集．D【解析】不等式2x2－x－10化为(x－1)(2x＋1)0，解得x－12或x1，故选D.【点评】此题考查了一元二次不等式的解法．一般地，求解一元二次不等式的基本思路：先根据判别式Δ，求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根，再根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．第8讲│要点热点探究(1)若关于x的不等式a≤34x2－3x＋4≤b的解集恰好是[a，b](ab)，则a＋b的值为()A．5B．4C.83D.163(2)[2011·陕西卷]设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数．．根的充要条件是n＝________.第8讲│要点热点探究(1)A(2)3或4【解析】(1)令f(x)＝34x2－3x＋4＝34(x－2)2＋1.若a≥2，则a，b是方程f(x)＝x的两个实根，解得a＝43，b＝4，矛盾，排除D；若b≤2，则f(a)＝b，f(b)＝a，相减得a＋b＝83，代入可得a＝b＝43，矛盾，排除C；若a2b，因为f(x)min＝1，所以a＝1，b＝4.(2)由x2－4x＋n＝0得(x－2)2＝4－n，即x＝2±4－n，∵n∈N＋，方程要有整数根，满足n＝3,4，当n＝3,4时方程有整数根．第8讲│要点热点探究►探究点二基本不等式的应用例2(1)[2011·北京卷]某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件(2)[2011·浙江卷]若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．第8讲│要点热点探究【分析】(1)结合实际问题，列出函数关系式，然后充分利用基本不等式求解得出其最小值；(2)结合基本不等式的变形式xy≤x＋y22，代换等式中的xy，得到关于(x＋y)的二次不等式，结合二次不等式的解法，不难求出x＋y的最大值．第8讲│要点热点探究(1)B(2)233【解析】(1)记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝800＋x8×x×1x＝800x＋x8≥2800x×x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80件(x0)时，取最小值，故选B.(2)∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2－xy＝1，即(x＋y)2－x＋y22≤1，∴(x＋y)2≤43，x＋y≤233.第8讲│要点热点探究【点评】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误，而“定”条件往往是整个求解过程中的一个难点和关键，解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．第8讲│要点热点探究(1)若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9(2)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．第8讲│要点热点探究(1)D(2)4【解析】(1)f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，化简得a＋b＝6，∵a0，b0，∴ab≤a＋b22＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，最大值为9，故选D.(2)设直线为y＝kx(k0)，y＝kx，y＝2x⇒x2＝2k，y2＝k2x2＝2k，所以PQ＝2OP＝x2＋y2＝22k＋2k≥224＝4.第8讲│要点热点探究►探究点三线性规划问题的解法例3(1)如图8－1，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．图8－1(2)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为()A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元第8讲│要点热点探究【分析】(1)本题为线性规划问题，采用数形结合法解答，解答本题的关键是确定目标函数过哪一个点时取得最小值．(2)线性规划的实际应用问题，结合实际条件得出线性约束条件，列出目标函数，求出最值．第8讲│要点热点探究(1)1(2)C【解析】(1)设目标函数z＝2x－y，当x＝0时，z＝－y，所以当y取得最大值时，z的值最小；移动直线2x－y＝0，当直线移动到过点A时，y最大，即z的值最小，此时z＝2×1－1＝1.(2)设派用甲型卡车x(辆)，乙型卡车y(辆)，获得的利润为u(元)，则u＝450x＋350y.由题意，x、y满足约束条件x＋y≤12，2x＋y≤19，10x＋6y≥72，0≤x≤8，0≤y≤7，作出相应的可行域，u＝450x＋350y＝50(9x＋7y)在由x＋y＝12，2x＋y＝19确定的交点(7,5)处取得最大值4900元，选C.第8讲│要点热点探究【点评】线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围；解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题验证解决．第8讲│要点热点探究(1)[2011·广东卷]已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为()A．3B．4C．32D．42(2)[2011·湖南卷]设m1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．第8讲│要点热点探究(1)B(2)3【解析】(1)z＝OM→·OA→＝(x，y)·(2，1)＝2x＋y，画出不等式组表示的区域(如图)，显然当z＝2x＋y经过B(2，2)时，z取最大值，即zmax＝2＋2＝4.第8讲│要点热点探究(2)先画出约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1表示的可行域，如下图：直线x＋y＝1与y＝mx的交点为1m＋1，mm＋1，得到当x＝1m＋1，y＝mm＋1时目标函数z＝x＋5y有最大值4，则有1m＋1＋5×mm＋1＝4，得m＝3.第8讲│要点热点探究►创新链接5平面区域和非线性规划问题平面区域和非线性规划问题，主要有两个问题．一个是确定平面区域的面积、平面区域的形状等；一个是求非线性目标函数的最值、范围等问题．我们这里主要说明非线性目标函数的最值、范围问题．求在已知区域上的变动点(x，y)的坐标x，y满足的非线性目标函数的最值、范围问题的基本思想是数形结合，即根据非线性目标函数的几何意义和平面区域的关系，把求解目标函数的最值、范围问题转化为求直线的斜率、点到直线的距离等问题解决，其中体现的是数形结合思想和化归转化思想．第8讲│要点热点探究例4(1)[2011·湖北卷]直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个(2)已知实数x，y满足条件x≥0，y≥x，2x＋y≤3，则－x＋1y＋2的取值范围是()A.－23，－15B.