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专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)第一篇知识专题【考情报告】专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)【考向预测】函数是整个高中数学的主线，导数是研究函数性质的重要工具，函数的单调性是函数最重要的性质之一，它与不等式的联系非常密切．本部分考查的内容主要有：函数的概念和性质，基本初等函数的图象、性质、应用，导数的概念和应用，不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式．考查学生的抽象思维能力、推理论证能力，运算求解能力及数学应用意识．从高考卷来看，对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．预测2014年四川高考关于不等式、函数与专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)导数，仍会以考查函数的图象与性质，利用导数解决函数、方程、不等式的综合问题为热点，知识载体主要是二次函数、三次函数、指数函数、对数函数及分式函数．综合题主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题或逆求参数取值范围；(2)不等式、函数与导数综合问题．【问题引领】1．函数y＝ax＋3－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线xm＋yn＝－1上，且m0，n0，则3m＋n的最小值为()．专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)A．13B．16C．11＋62D．28【解析】函数y＝ax＋3－2(a＞0，且a≠1)恒过定点(－3，－1)，又因为点A在直线xm＋yn＝－1上，所以3m＋1n＝1，所以3m＋n＝(3m＋n)(3m＋1n)＝10＋3mn＋3nm≥10＋23mn·3nm＝16，所以3m＋n的最小值为16.【答案】B专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)2．设z＝x＋y，其中实数x，y满足x＋2y≥0，x－y≤0，0≤y≤k，若z的最大值为6，则z的最小值为()．A．－3B．－2C．－1D．0【解析】由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出x＋2y≥0，x－y≤0，0≤y≤k的区域BCO如图所示，平移直线y＝－x＋z，由图象可知当直专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)线经过C点时，直线的截距最大，此时z＝6，由y＝x，y＝－x＋6，解得x＝3，y＝3，所以k＝3，解得B(－6，3)，代入z＝x＋y得最小值为z＝－6＋3＝－3.专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)【答案】A3．若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a0，且a≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a的取值范围是()．A．[14，1)B．[34，1)C．[94，＋∞)D．(－94，1)【解析】设φ(x)＝x3－ax，当a∈(0，1)时，依题意有φ(x)＝x3－ax在区间(－12，0)内单调递减且φ(x)＝x3－ax在(－12，0)上大于0.专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)∵φ′(x)＝3x2－a，∴φ′(x)≤0在(－12，0)恒成立⇔a≥3x2在(－12，0)上恒成立．∵x∈(－12，0)，∴3x2∈(0，34)，∴a≥34，此时φ(x)0，∴34≤a1.当a1时，φ(x)在区间(－12，0)内单调递增，∴φ′专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)(x)＝3x2－a在(－12，0)上大于0.∴a≤3x2在(－12，0)上恒成立．又∵3x2∈(0，34)，∴a≤0与a1矛盾．综上，a的取值范围是[34，1)．【答案】B4．过点P(2，－2)且与曲线y＝3x－x3相切的直线方程是________．【解析】设点(a，b)是曲线上的任意一点，则有b＝3a专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)－a3.导数y′＝3－3x2，则切线的斜率k＝3－3a2，所以切线方程为y－b＝(3－3a2)(x－a)，即y＝(3－3a2)x－a(3－3a2)＋b＝(3－3a2)x＋3a3－3a＋3a－a3，整理得y＝(3－3a2)x＋2a3，将点P(2，－2)代入得－2＝2(3－3a2)＋2a3＝2a3－6a2＋6，即a3－3a2＋4＝0，即a3＋1－3a2＋3＝(a3＋1)－3(a2－1)＝0，整理得(a＋1)(a－2)2＝0，解得a＝2或a＝－1，代入切线方程得y＝－9x＋16或y＝－2.【答案】y＝－9x＋16或y＝－25．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝1f（x），当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则f(32)＝________.专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)【解析】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝1f（x），∴f(x＋2)＝f(x)，且f(－x)＝f(x)，又当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，∴f(32)＝f(－12)＝f(12)＝12＋1＝32.【答案】326．设函数f(x)＝(2－a)lnx＋1x＋2ax.专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)(1)当a＝0时，求f(x)的极值；(2)当a≠0时，求f(x)的单调区间．【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝0时，f(x)＝2lnx＋1x，∴f′(x)＝2x－1x2＝2x－1x2.由f′(x)＝0，得x＝12.f(x)，f′(x)随x变化如下表：专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)x(0，12)12(12，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值由上表可知，f(x)极小值＝f(12)＝2－2ln2，没有极大值．(2)由题意，f′(x)＝2ax2＋（2－a）x－1x2.令f′(x)＝0，得x1＝－1a，x2＝12.专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)若a＞0，由f′(x)≤0，得x∈(0，12]；由f′(x)≥0，得x∈[12，＋∞)．若a＜0,①当a＜－2时，－1a＜12，x∈(0，－1a]或x∈[12，＋∞)，f′(x)≤0；x∈[－1a，12]，f′(x)≥0.②当a＝－2时，f′(x)≤0.专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)③当－2＜a＜0时，－1a＞12，x∈(0，12]或x∈[－1a，＋∞)，f′(x)≤0；x∈[12，－1a]，f′(x)≥0.综上，当a＞0时，函数的单调递减区间为(0，12]，单调递增区间为[12，＋∞);当a＜－2时，函数的单调递减区间为(0，－1a]，[12，专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)＋∞)，单调递增区间为[－1a，12];当a＝－2时，函数的单调递减区间是(0，＋∞)；当－2＜a＜0时，函数的单调递减区间为(0，12]，[－1a，＋∞)，单调递增区间为[12，－1a].专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)【诊断参考】1．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．2．线性规划的逆向问题，解题的关键在于用数形结合思想确定何时取得最大值，从而建立不等关系求参数m的范围．解此题时很多学生因为目标函数中含参数而又无数形结合思想的应用意识，导致无从下手．3．已知函数的单调性求参数的取值范围，首先要考虑专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)定义域，即定义域优先的原则．其次要注意复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为忽略函数的定义域，或仅考虑复合函数的内层函数的单调性．4．利用导数的几何意义求曲线的切线是导数的重要应用之一，求曲线切线方程需注意以下几点：①确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；②基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；③熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提．5．函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．在这类题目中，往往需借助函数的奇偶性或周期性来实现区间的转换．对于像第5题这样的题，有些学生往往不会由f(x＋1)＝1f（x），得出周期T＝2，从而做不出该题．6．含参数的导数问题是历年高考命题的热点．由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在他们不知何时开始讨论、怎样去讨论．专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)一般地，含参数的导数问题有三个基本讨论点：(1)求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论．(2)求导后，考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)，从而引起讨论．(3)求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论．专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)【知识整合】一、不等式的性质不等式共有六条性质两条推论，要注意：1．可加性：ab⇔a＋cb＋c.推论：同向不等式可加，ab，cd⇒a＋cb＋d.2．可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc.推论：同向(正)可乘，ab0，cd0⇒acbd.专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)二、不等式的解法1．一元二次不等式的解法：求不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集，先求ax2＋bx＋c＝0的根，再根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象写出解集．2．分式不等式：先将右边化为零，左边通分，转化为整式不等式求解．3．一元三次不等式，用“穿针引线法”求解(穿根时要注意“奇穿偶不穿”)．三、线性规则1．解答线性规则的应用问题，其一般步骤如下：(1)设：设出所求的未知数；专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)(2)列：列出约束条件及目标函数；(3)画：画出可行域；(4)移：将目标函数转化为直线方程，平移直线，通过截距的最值找到目标函数的最值；(5)解：将直线交点转化为方程组的解，找到最优解．2．求解整点最优解有两种方法：(1)平移求解法：先打网格，描整点，平移目标函数所在的直线l，最先经过的或最后经过的整点便是最优整点解；(2)调整优值法：先求非整优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)四、基本不等式1．a，b都为正数，a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．使用基本不等式时要注意“一正，二定，三相等”．五、不等式常用结论1．不等式恒成立问题的转化方向：(1)分离参数，向最值转化；(2)向函数图象或Δ转化．2．已知x0，y0，则有：(1)若乘积xy为定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2p；(2)若和x＋y为定值s，专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)则当x＝y时，乘积xy有最大值14s2.六、函数的概念及其表示函数的三要素：定义域、值域、对应关系．常用的函数表示法：解析法、列表法、图象法．七、函数的性质1．函数解析式的常用求法：(1)待定系数法；(2)代换(配凑)法；(3)构造方程(组)法．2．函数定义域的常用求法：(1)根据解析式的要求：偶次根式的被开方数不小于零、分母不能为零、对数中的真数大于零、对数中的底数大于零且不为1、零次幂的底数不为专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)零等；(2)实际问题中要考虑变量的实际含义．3．函数值域(最值)的常用求法：(1)配方法(常用于二次函数)；(2)换元法；(3)有界性法；(4)单调性法；(5)数形结合法；(6)判别式法；(7)不等式法；(8)导数法．4．函数的单调性：(1)定义法；(2)导数法；(3)复合函数法；(4)图象法．5．函数的奇偶性：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．6．函数的周期性：(1)f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，周期是T；(2)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，周期是|b－a|；(3)f(x专题1热点重点难点专题透析·数学(文科)＋a)＝－f(x)(a≠0)，周期是2a；(4)若f(x