2014高考数学(理)复习方案：第59讲 离散型随机变量及其分布列

第59讲离散型随机变量及其分布列双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题返回目录返回目录1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2．理解两点分布和超几何分布的意义，并能进行简单的应用．考试说明第59讲离散型随机变量及其分布列返回目录双向固基础一、随机变量一般地，如果随机试验的结果，可以用一个______来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)表示，而用小写字母x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量取的可能值．所有取值可以一一列出的随机变量，称为________随机变量．二、离散型随机变量的分布列若离散型随机变量X可能取的不同值分别为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：变量——知识梳理——离散型第59讲离散型随机变量及其分布列返回目录双向固基础Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．三、离散型随机变量概率分布列的性质1．pi________，i＝1,2，…，n；2．p1＋p2＋…＋pn＝________.≥01第59讲离散型随机变量及其分布列返回目录双向固基础四、两个常见的概率分布1．两点分布：分布列X01P1－pp称为两点分布列，如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．2．超几何分布：基本模型为“在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*”．称分布列第59讲离散型随机变量及其分布列返回目录双向固基础X01…mP…为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．——疑难辨析——返回目录双向固基础第59讲离散型随机变量及其分布列1．对随机变量的理解(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．()(2)离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．()(3)有些离散型随机变量的分布列可以使用公式表示．()返回目录双向固基础第59讲离散型随机变量及其分布列[答案](1)√(2)√(3)√[解析](1)抛掷均匀硬币一次出现正面的次数为0或1，符合离散型随机变量的定义．(2)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数，函数把实数映射为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的范围相当于函数的值域，我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．(3)根据随机变量值域的概念．返回目录双向固基础第59讲离散型随机变量及其分布列2．分布列的性质的应用(1)某一射手射击所得环数X的分布列如下：X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中的环数不小于7”的概率是0.79.()(2)如果X是一个离散型随机变量，X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和．()返回目录双向固基础第59讲离散型随机变量及其分布列[答案](1)×(2)×[解析](1)根据射手射击所得的环数X的分布列，有P(X＝7)＝0.09，P(X＝8)＝0.28，P(X＝9)＝0.29，P(X＝10)＝0.22，所求的概率为P(X≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88；(2)由离散型随机变量的性质得pi≥0，i＝1,2，…，n，且i＝1npi＝1.返回目录双向固基础第59讲离散型随机变量及其分布列3．对两个分布的理解(1)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．()(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()返回目录双向固基础第59讲离散型随机变量及其分布列[解析](1)只能是射击一次命中的次数服从两点分布，射击三次命中的次数服从二项分布．(2)根据超几何分布的意义可知．[答案](1)×(2)√返回目录点面讲考向第59讲离散型随机变量及其分布列考点考频示例(难度)1.随机变量及其分布列解答(4)2009年浙江T19(2)(A)，2010年浙江T19(2)(A)，2012年浙江T19(1)(A)，2012年浙江T19(2)(A)2.离散型随机变量的分布列的性质的应用3.离散型随机变量分布列的求法4.超几何分布说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析2009～2012年浙江卷情况．►探究点一随机变量及其分布列的概念返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列例1(1)将一颗骰子均匀掷两次，随机变量为()A．第一次出现的点数B．第二次出现的点数C．两次出现点数之和D．两次出现相同点的种数(2)袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()A．25B．10C．7D．6返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列[思考流程](1)分析：理解随机变量的定义；推理：判断结果的随机性；结论：确定出现的数字和是随机的．(2)分析：理解随机变量的取值；推理：列出各种可能结果；结论：计算取值的个数．返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列[答案](1)C(2)C[解析](1)A，B中出现的点数虽然是随机的但它们取值所反映的结果都不是本题涉及试验的结果；D中出现相同点数的种数就是6种，不是变量；C整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共11种结果，但每掷一次前，无法预见是11种中的哪一个，故是随机变量，故选C.(2)X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9，共7个，故选C.[点评](1)描述随机试验的随机变量有多种形式，不论选取哪一种形式，随机变量可以表示随机试验的所有可能结果，同时随机变量在选定标准之后，它是一个变化的量；(2)在给定的概率分布列中X取各个值时表示的事件是互斥的．返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列归纳总结在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意，随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．►探究点二离散型随机变量的分布列的性质的返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列例2(1)[2013·贵州大学附中月考]设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P0.51－2qq2则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22(2)设随机变量X的概率分布为X1234P13m1416则P(|X－3|＝1)＝________.返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列[思考流程](1)分析：理解分布列的性质；推理；综合两个性质列方程；结论：确定q的值．(2)分析：应用分布列的性质；推理：利用性质求m；结论：根据分布列求概率．返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列[答案](1)C(2)512[解析](1)由离散型随机变量分布列的性质得1－2q≥0，q2≥0，0.5＋1－2q＋q2＝1⇒q≤12，q＝1±22.解得q＝1－22，故选C.(2)由离散型随机变量分布列的性质，得13＋m＋14＋16＝1，解得m＝14，∴P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝512.[点评]利用离散型随机变量分布列的性质，可以求分布列中的参数的值；此类问题的易错点是不注意pi的取值范围及概率和为1的条件．返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列归纳总结离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量所刻画的随机现象，分布列中各个概率值非负、各个概率值之和等于1，主要用于解决两类问题，一是用来判断离散型随机变量分布列的正确性，二是用来计算随机变量取某些值的概率．返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列►探究点三离散型随机变量分布列的求法返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列例3[2012·福建卷改编]受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，随机变量X1的可能取值为1,2,3，P(X1＝1)＝250＝125，P(X1＝2)＝350，P(X1＝3)＝4550＝910，∴生产一辆甲品牌轿车的利润X1的分布列为X1123P125350910返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列由表格数据，得随机变量X2的可能取值为1.8,2.9，P(X2＝1.8)＝550＝110，P(X2＝2.9)＝4550＝910，∴生产一辆乙品牌轿车的利润X2的分布列为X21.82.9P110910返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列归纳总结求离散型随机变量的分布列应注意以下几个步骤：①确定离散型随机变量所有的可能取值以及取这些值时的意义．②尽量寻求计算概率时的普遍规律．③检查分布列的所有概率值和是否为1.►探究点四超几何分布返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列例4[2012·浙江卷改编]已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．求X的分布列．返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列[思考流程]条件：服从超几何分布；目标：X的分布列；方法：应用公式求各取值的概率．返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列解：由题意得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝C35C39＝542，P(X＝4)＝C14·C25C39＝1021，P(X＝5)＝C24·C15C39＝514，P(X＝6)＝C34C39＝121，所以X的分布列为X3456P5421021514121返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列[点评]超几何分布实际上就是总体有两类元素组成，从其取出部分元素，其中不管哪类元素的数目都服从超几何分布；对于服从超几何分布的随机变量，其分布列可以直接由公式给出．返回目录点面讲考点第59讲离散型随机变量及其分布列归纳总结超几何分布描述的是不放回的抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质是古典概型，可以利用古典概型的计算公式和计数原理求出随机变量X的每个取值的概率，并用表格的形式给出X的分布列．易错究源21忽视分布列的性质致误返回目录多元提能力第59讲离散型随机变量及其分布列例[2012·南通模拟]假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，则X的概率分布为____________．错解X可能取的值为1,2,3，∴P(X＝1)＝34，