2014高考数学一轮复习课件5.1数列的概念与简单表示法

•第一节数列的概念与简单表示法•1．数列的定义•按照_________排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的___．•2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数_____无穷数列项数_____项与项间的大小关系递增数列an＋1___an其中n∈N*递减数列an＋1___an常数列an＋1＝an一定顺序项有限无限•3.数列的通项公式•如果数列{an}的第n项与_______之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．•4．数列的递推公式•若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1的关系式表示(如an＝2an－1＋1，n1)，则这个关系式称为数列的递推公式．5．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝________________________序号nS1，（n＝1），Sn－Sn－1，（n≥2）.•1．数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？•2．数列的函数特征是什么？•【提示】数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．【提示】不唯一，如数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以为an＝(－1)n或an＝－1（n为奇数）1（n为偶数），有的数列没有通项公式．•1．(人教A版教材习题改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为()•A．30B．31C．32D．33•【解析】a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31.•【答案】B•2．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图5－1－1)．•则第7个三角形数是()•A．27B．28C．29D．30•【解析】由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.•【答案】B3．(2012·福建高考)数列{an}的通项公式an＝ncosnπ2，其前n项和为Sn，则S2012等于()A．1006B．2012C．503D．0【解析】a1＝cosπ2＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….∴数列{an}的所有奇数项为0，前2012项的所有偶数项(共1006项)依次为－2，4，－6，8，…故S2012＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2010＋2012)＝1006.【答案】A•4．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．【解析】当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝n2－(n－1)2＝2n－1.∴an＝2（n＝1），2n－1（n≥2）.【答案】2（n＝1）2n－1（n≥2）•【思路点拨】归纳通项公式应从以下四个方面着手：•(1)观察项与项之间的关系；•(2)符号与绝对值分别考虑；•(3)规律不明显，适当变形．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0.88，0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，….【尝试解答】(1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)数列变为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝89(1－110n)．(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n·2n－32n.•1．求数列的通项时，要抓住以下几个特征．•(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．•2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式．(1)3，5，7，9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，….【解】(1)各项减去1后为正偶数，∴an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，….∴an＝2n－12n.(3)各项负正相间，故通项公式中含有因式(－1)n，各项绝对值的分母组成数列{n}，分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3.即奇数项为2－1，偶数项为2＋1.∴an＝(－1)n2＋（－1）nn.根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)；(2)a1＝12，an＋1＝nn＋2an＋(1－nn＋2)；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(4)a1＝1，an＋1＝2an2＋an.【思路点拨】(1)求an－an－1用叠加法求和，验证n＝1；(2)令bn＝an－1，用叠乘法求和；(3)可构造等比数列求解；(4)用倒数法，转化为等差数列求解．【尝试解答】(1)∵an＋1＝an＋ln(1＋1n)，∴an－an－1＝ln(1＋1n－1)＝lnnn－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln32＋ln2＋2＝2＋ln(nn－1·n－1n－2·…·32·2)＝2＋lnn(n≥2)．又a1＝2适合上式，故an＝2＋lnn(n∈N*)．(2)∵an＋1＝nn＋2an＋(1－nn＋2)，∴an＋1－1＝nn＋2(an－1)，令bn＝an－1，有b1＝a1－1＝－12，则bn＋1＝nn＋2bn，取n＝1，2，3，…，n－1，由叠乘法，得bn＝13×24×35×…×n－1n＋1×(－12)＝－1n（n＋1），an＝1－1n（n＋1）.(3)由an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，∵a1＝1，知a1＋1＝2，an＋1≠0，∴an＋1＋1an＋1＝3，故数列{an＋1}是以2为首项，以3为公比的等比数列．∴an＋1＝2·3n－1，故an＝2·3n－1－1.(4)∵a1＝1，an＋1＝2an2＋an，∴1an＋1＝1an＋12.∴数列{1an}是等差数列，其首项为1，公差为12，∴1an＝1＋n－12，∴an＝2n＋1.1.本题常见的误区：(1)忽视判定an＋1≠0；(2)遗漏验证n＝1时，a1是否适合通项公式；2．(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“叠加法”求an；已知a1(a1≠0)且anan－1＝f(n)，可用“叠乘法”求an.an＋1＝panp＋qan(an≠0，p、q为非零常数)，可用倒数法．(2)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列．(1)(2011·广东高考)设b＞0，数列{an}满足a1＝b，an＝nban－1an－1＋2n－2(n≥2)．求数列{an}的通项公式；(2)设b＞0，数列{cn}满足c1＝b，cn＝nbcn－1cn－1＋b（n－1）(n≥2)，求数列{cn}的通项公式．【解】(1)由a1＝b＞0，知an＝nban－1an－1＋2n－2＞0，nan＝1b＋2b·n－1an－1.令An＝nan，A1＝1b，当n≥2时，An＝1b＋2bAn－1＝1b＋2b2＋…＋2n－2bn－1＋2n－1bn－1A1＝1b＋2b2＋…＋2n－2bn－1＋2n－1bn.当b＞0，且b≠2时，An＝1b[1－（2b）n]1－2b＝bn－2nbn（b－2）；当b＝2时，An＝n2.∴an＝nbn（b－2）bn－2n，b＞0，且b≠2，2，b＝2.(2)由cn＝nbcn－1cn－1＋b（n－1），得ncn＝n－1cn－1＋1b.又c1＝b.所以数列{ncn}是以1b为首项、以1b为公差的等差数列．则ncn＝1b＋(n－1)1b＝nb.所以cn＝b.•【思路点拨】消去Sn，可得an与an－1的递推关系，进而求出an.(2012·大纲全国卷)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．【尝试解答】(1)∵Sn＝n＋23an，且a1＝1，∴S2＝43a2，即a1＋a2＝43a2，得a2＝3.由S3＝53a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1，整理得an＝n＋1n－1an－1，即anan－1＝n＋1n－1，于是a2a1＝3，a3a2＝42，a4a3＝53，…，anan－1＝n＋1n－1，以上n－1个式子的两端分别相乘，得ana1＝n（n＋1）2，∴an＝n（n＋1）2，n≥2.又a1＝1适合上式，故an＝n（n＋1）2，n∈N*.•1．本题主要考查利用赋值法求数列中的项，以及利用an与Sn的关系，借助累乘法求数列的通项公式．•2．利用an＝Sn－Sn－1求通项时，注意n≥2这一前提条件，易忽略验证n＝1致误，当n＝1时，a1若适合通项，则n＝1的情况应并入n≥2时的通项；否则an应利用分段函数的形式表示．•(2012·广东高考)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.•(1)求a1的值；•(2)求数列{an}的通项公式；•【解】(1)当n＝1时，T1＝2S1－12.•因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.•(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，•所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，①所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②②－①得an＋1＝2an＋2.所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即an＋1＋2an＋2＝2(n≥2)．当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则a2＋2a1＋2＝2，所以当n＝1时也满足上式．所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2.•已知数列{an}．•(1)若an＝n2－5n＋4.•①数列中有多少项是负数？•②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．•(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1＞an成立．求实数k的取值范围．•【思路点拨】(1)求使an＜0的n值；从二次函数看an的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性【尝试解答】(1)①由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.∵n∈N*，∴n＝2，3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.②∵an＝n2－5n＋4＝(n－52)2－94，∴对称轴方程为n＝52.又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.(2)由an＋1＞an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k2＜32，即得k＞－3.•1．本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决．•2．本题易错答案为k＞－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．•3．在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．•设函数f(x)定义如下表：•定义数列{an}：a0＝2，an＋1＝f(an)，n∈N.•