2014高考数学一轮复习课件离散型随机变量的分布列.

2014高考数学一轮复习课件第6讲离散型随机变量的分布列【2014年高考会这样考】1．在理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念的基础上，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．2．考查两点分布和超几何分布的简单应用.考点梳理(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量；取值能够一一列举出来，这样的随机变量叫作离散型随机变量．(2)设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1，2，…)，记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1，2，…)，或把上式列成表1．离散型随机变量的分布列X＝aia1a2…P(X＝ai)p1p2…上式及表称为离散型随机变量X的分布列，具有性质：①pi____0；②p1＋p2＋…＝_____．如果随机变量X的分布列为其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的_________．X10Ppq2．两点分布1两点分布3．超几何分布列一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝___________(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．CkMCn－kN－MCnN一类表格离散型随机变量的分布列实质是进行数据处理的一种表格．第一行数据是随机变量的取值；第二行数据是第一行数据代表事件的概率．利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值．【助学·微博】两条性质(1)第二行数据中的数都在(0,1)内；(2)第二行所有数的和等于1.三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列．A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率解析A中取到的产品件数是一个常量而不是一个变量；B、D中的概率也是一个定值；而C中取到的次品数可能是0,1,2，是随机变量．答案C考点自测1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()．2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()．解析设X的分布列为A．0B.12C.23D.13即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p＋2p＝1，得p＝13.X01Pp2p答案D3．(2013·西安模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为()．答案AA.27220B.2755C.1220D.2125解析由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.A．25B．10C．7D．6解析X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.答案C4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()．5．(教材习题改编)一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的分布列是________．解析Y的所有可能值为1,2,3,4P(Y＝1)＝15，P(Y＝2)＝15，P(Y＝3)＝25，P(Y＝4)＝15.∴Y的分布列为Y1234P15152515答案Y1234P15152515【例1】►(2012·广东改编)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．考向一由统计数据求离散型随机变量的分布列(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．[审题视点](1)抓住总面积和为1即可算得x的值．(2)ξ的可能取值为0,1,2，算出其概率，即可列出ξ的分布列，从而求出ξ的期望．解(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.因此ξ可能取0,1,2三个值．P(ξ＝0)＝C29C212＝611，P(ξ＝1)＝C19·C13C212＝922，P(ξ＝2)＝C23C212＝122.ξ的分布列为故Eξ＝0×611＋1×922＋2×122＝12.ξ012P611922122求离散型随机变量的分布列的步骤：①确定离散型随机变量所有的可能取值，以及取这些值时的意义；②尽量寻求计算概率时的普遍规律；③检查计算结果是否满足分布列的第二条性质．【训练1】(2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数甲组乙组9911019890分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学(1)求这两名同学的植树总棵数Y的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．解(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y的取值分别为17,18,19,20,21，P(Y＝17)＝216＝18；P(Y＝18)＝416＝14P(Y＝19)＝416＝14；P(Y＝20)＝416＝14P(Y＝21)＝216＝18则随机变量Y的分布列是：Y1718192021P1814141418设这名同学获得钱数为X元，则X＝10Y，则EX＝10EY＝190.(2)由(1)知EY＝178＋184＋194＋204＋218＝19，(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望EX．[审题视点]本题是一道有关古典概型的题目，对变量的取值要做到不重不漏，计算要准确．考向二用古典概型求离散型随机变量的分布列【例2】►(2012·浙江)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．解(1)由题意，得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝C35C39＝542，P(X＝4)＝C14·C25C39＝1021，P(X＝5)＝C24·C15C39＝514，P(X＝6)＝C34C39＝121，所以X的分布列为X3456P5421021514121(2)由(1)知EX＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋P(X＝6)＝133.求随机变量分布列的关键是概率的计算，概率计算的关键是理清事件之间的关系，把实际问题中随机变量的各个值归结为事件之间的关系，求出事件的概率也就求出了这个随机变量的分布列．【训练2】(2012·安徽)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束，试题库中现共有n＋m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．(1)求X＝n＋2的概率；(2)设m＝n，求X的分布列和均值(数学期望)．解以Ai表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2.(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝nm＋n·n＋1m＋n＋2＝nn＋1m＋nm＋n＋2.(2)X的可能取值为n，n＋1，n＋2.P(X＝n)＝P(A1A2)＝nn＋n·nn＋n＝14，P(X＝n＋1)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝nn＋n·n＋1n＋n＋2＋nn＋n·nn＋n＝12，P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝nn＋n·n＋1n＋n＋2＝14，从而X的分布列是Xnn＋1n＋2P141214EX＝n×14＋(n＋1)×12＋(n＋2)×14＝n＋1.(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．考向三由独立事件同时发生的概率求随机变量的分布列【例3】►(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；[审题视点](1)依据题意及相互对立事件间的概率关系列出相关方程，通过解方程得出结论；(2)根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而求出期望值．解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P(C)＝1－110·p＝4950，解得p＝15.(2)由题意，P(ξ＝0)＝C031103＝11000，P(ξ＝1)＝C131102×1－110＝271000，P(ξ＝2)＝C23×110×1－1102＝2431000，P(ξ＝3)＝C331－1103＝7291000.所以，随机变量ξ的概率分布列为故随机变量ξ的数学期望：Eξ＝0×11000＋1×271000＋2×2431000＋3×7291000＝2710.ξ0123P1100027100024310007291000解决随机变量分布列问题时，首先应先根据随机变量的实际意义，利用试验结果，找出随机变量的取值，再正确求出随机变量的各个取值对应的概率，同时要做到计算准确无误．(1)求两种树各成活一株的概率；(2)设ξ表示成活的株数，求ξ的分布列及数学期望．解(1)记“香樟成活一株”为事件A，“桂花成活一株”为事件B.则事件“两种树各成活一株”即为事件A·B.【训练3】(2013·上饶期末)某校对新扩建的校园进行绿化，移栽香樟和桂花两种大树各2株，若香樟的成活率为45，桂花的成活率为34，假设每棵树成活与否是相互独立的．P(A)＝C12·45×15＝825，P(B)＝C12·34×14＝38，由于事件A与B相互独立，因此，P(A·B)＝P(A)·P(B)＝325.(2)ξ表示成活的株数，因此ξ可能的取值有0,1,2,3,4.P(ξ＝0)＝152×142＝1400；P(ξ＝1)＝C12×45×15×142＋C12×34×14×152＝7200；P(ξ＝2)＝325＋452×142＋152×342＝73400；P(ξ＝3)＝C12·45×15×342＋C12·34×14×452＝2150；P(ξ＝4)＝452×342＝144400＝925.ξ的分布列为因此，Eξ＝0×1400＋1×7200＋2×73400＋3×2150＋4×925＝3.1.ξ01234P14007200734002150925【命题研究】通过对近三年高考试题分析可以看出，本部分在高考中主要考查独立事件的概率、离散型随机变量的概率分布、数学期望和方差的计算，以及概率统计在实际问题中的应用，题型以解答题为主．预测2014年高考仍会坚持以实际问题为背景，结合常见的概率事件，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的求法，一般属中等难度题目．规范解答16——求解离散型随机变量分布列的答题技巧(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．【真题探究】►(本小题满分13分)(2012·天津)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约