2014高考数学文复习方案 二轮作业手册(新课标・通用版)专题综合训练(八) 专题八 数学思想方法

专题综合训练(八)[专题八数学思想方法](时间：60分钟分值：100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1．设函数f(x)＝x3－4x＋a(0a2)有三个零点x1，x2，x3，且x1x2x3，则下列结论正确的是()A．x1－1B．x20C．0x21D．x322．已知实数x，y满足不等式组x－y≥0，x－3y＋2≤0，x＋y－6≤0，则2x－y＋3的最小值是()A．3B．4C．6D．93．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)＝x，x≤0，x2－x，x0.若函数g(x)＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为()A.－12，1B.－12，1C.－14，0D.－14，05．已知函数f(x)＝3x＋x－3的零点为x1，函数g(x)＝log3x＋x－3的零点为x2，则x1＋x2＝()A．1B．2C．3D．4图Z8－16．阅读程序框图(如图Z8－1)，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x的取值范围是()A．{x∈R|0≤x≤log23}B．{x∈R|－2≤x≤2}C．{x∈R|0≤x≤log23或x＝2}D．{x∈R|－2≤x≤log23或x＝2}7．已知函数f(x)＝2x＋1，x∈N*.若x0，n∈N*，使f(x0)＋f(x0＋1)＋…＋f(x0＋n)＝63成立，则称(x0，n)为函数f(x)的一个“生成点”．函数f(x)的“生成点”共有()A．1个B．2个C．3个D．4个8．设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x∈R都有f(2－x)＋f(x)＝0恒成立．如果实数m，n满足不等式组f（m2－6m＋23）＋f（n2－8n）0，m3，则m2＋n2的取值范围是()A．(3，7)B．(9，25)C．(13，49)D．(9，49)二、填空题(每小题5分，共20分)9．已知cosx＝23(x∈R)，则cosx－π3＝________．10．已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．11．若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为________．12．已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝x3.若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是________．三、解答题(共40分)13．(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝2，cosC＝34.(1)求sinA的值；(2)求△ABC的面积．14．(13分)已知向量p＝(an，2n)，q＝(2n＋1，－an＋1)，n∈N*，向量p与q垂直，且a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝log2an＋1，求数列{an·bn}的前n项和Sn.15．(14分)已知a∈R，函数f(x)＝ax＋lnx－1，g(x)＝(lnx－1)·ex＋x，(其中e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)在(0，e]上的单调性；(2)是否存在实数x0∈(0，＋∞)，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由；(3)若实数m，n满足m0，n0，求证：nnem≥mnen.专题综合训练(八)1．C[解析]f′(x)＝3x2－4，令f′(x)＝3x2－4＝0，x＝±233.故x－∞，－233－233－233，233233233，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)递增极大值递减极小值递增又因为f(－1)＝3＋a0，f(0)＝a0，f(1)＝a－30，f(2)＝a0，综合以上信息可得示意图如图，由图可知，0x21.2．B[解析]已知不等式组表示的平面区域如图所示，设z＝2x－y，则z为直线2x－y－z＝0在y轴上的截距的相反数．结合图形可知，在点A(1，1)处z最小，所以z的最小值为1.故2x－y＋3的最小值是4.3．A[解析]∵y＝sin(2x＋φ)过坐标原点，∴sinφ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故φ＝π是曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充分不必要条件．4．C[解析]问题等价于f(x)＝m有三个不同的解，等价于函数y＝f(x)与y＝m的图像有三个不同的公共点．在同一坐标系中画出函数y＝f(x)，y＝m的图像(如图所示)，观察其交点个数，显然当－14m0时，两个函数图像有三个不同的公共点．5．C[解析]由题意知，x1为函数y＝3x与函数y＝3－x交点的横坐标，x2为函数y＝log3x与函数y＝3－x交点的横坐标．由于函数y＝3x，y＝log3x互为反函数，点(x1，y1)，(x2，y2)在直线y＝3－x上且关于直线y＝x对称，故x1＋x2＝3.6．C[解析]由条件结构知，当－2x2时，f(x)＝2x∈14，4；当x≤－2或x≥2时，f(x)＝x＋1∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．又∵输出的函数值在区间[1，3]上，∴1≤2x≤3或x＋1＝3，解得0≤x≤log23或x＝2.故选C.7．B[解析]由2[(n＋1)x0＋n（n＋1）2]＋n＋1＝63，得x0＝63－（n＋1）22（n＋1）.如果x0为正整数，则(n＋1)263，即n＝1，2，3，4，5，6.当n＝1时，x0＝594，不是整数；当n＝2时，x0＝63－96＝9，则点(9，2)为函数f(x)的一个生成点；当n＝3时，x0＝478，不是整数；当n＝4时，x0＝3810，不是整数；当n＝5时，x0＝2712，不是整数；当n＝6时，x0＝1414＝1，则(1，6)为函数f(x)的一个生成点．综上所述，y＝f(x)的“生成点”有2个．8．C[解析]因为f(n2－8n)＝－f(2－n2＋8n)，所以f(m2－6m＋23)＋f(n2－8n)0，即f(m2－6m＋23)f(2－n2＋8n)．由于函数f(x)是定义在R上的增函数，所以m2－6m＋232－n2＋8n，即(m－3)2＋(n－4)24.又因为m3，所以点(m，n)为平面上以(3，4)为圆心，2为半径的圆的右半部分的内部，故m2＋n2∈(13，49)．9.13±156[解析]因为cosx＝23，sinx＝±53，所以cosx－π3＝cosxcosπ3＋sinxsinπ3＝13±156.10.712[解析]∵AP→⊥BC→，∴AP→·BC→＝()λAB→＋AC→·()AC→－AB→＝－λAB→2＋AC→2＋()λ－1AC→·AB→＝0，即－λ×9＋4＋()λ－1×3×2×－12＝0，解得λ＝712.11.5＋12[解析]令t＝yx(t0)，则a≥x2＋2xyx2＋y2＝1＋2t1＋t2.令m＝1＋2t1，则t＝m－12，所以a≥1＋2t1＋t2＝4m4＋（m－1）2＝4mm2－2m＋5＝4m＋5m－2.由于4m＋5m－2≤425－2＝1＋52，故a≥1＋52.12.0，15∪(5，＋∞)[解析]由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由g(x)＝f(x)－loga|x|＝0，得f(x)＝loga|x|，在同一平面直角坐标系下，分别作出函数y＝f(x)与y＝m(x)＝loga|x|的图像．若a1，由图像可知要使函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则满足m(5)＝loga51，此时a5.若0a1，由图像可知要使函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则满足m(－5)＝loga5≥－1，此时0a≤15.故a的取值范围是0，15∪(5，＋∞)．13．解：(1)∵cosC＝34，∴sinC＝74.∵asinA＝csinC，∴1sinA＝274，∴sinA＝148.(2)∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴2＝1＋b2－32b，∴2b2－3b－2＝0，解得b＝2.故S△ABC＝12absinC＝12×1×2×74＝74.14．解：(1)∵向量p与q垂直，∴2nan＋1－2n＋1an＝0，即2nan＋1＝2n＋1an，则an＋1an＝2.∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n－1.(2)∵bn＝log2an＋1，则bn＝n，∴an·bn＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n·2n－1，①∴2Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n，②由①－②，得－Sn＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n－1－n·2n＝1－2n1－2－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝1＋(n－1)2n.15．解：(1)∵f(x)＝ax＋lnx－1，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝－ax2＋1x＝x－ax2，①若a≤0，则f′(x)0，f(x)在(0，e]上单调递增；②若0ae，当x∈(0，a)时，f′(x)0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，当x∈(a，e]时，f′(x)0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增；③若a≥e，则f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减．(2)∵g(x)＝(lnx－1)ex＋x，x∈(0，＋∞)，∴g′(x)＝exx＋(lnx－1)ex＋1＝1x＋lnx－1ex＋1.由(1)易知，当a＝1时，f(x)＝1x＋lnx－1在(0，＋∞)上的最小值f(x)min＝f(1)＝0，即当x∈(0，＋∞)时，1x＋lnx－1≥0.又∵ex0，∴g′(x)＝1x＋lnx－1ex＋1≥10.由于曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x)＝0有实数解，而g′(x)0，则方程g′(x)＝0无实数解．故不存在满足条件的x0.(3)证明：nnem≥mnennmn≥en－mnlnnm≥n－mlnnm≥1－mnmn＋lnnm－1≥0.由(2)知1x＋lnx－1≥0，令x＝nm，则mn＋lnnm－1≥0，故原不等式成立．