2014高考数学文复习方案_二轮作业手册专题综合训练(三)_专题三_三角函数、三角恒等变换与解三角形

第九章平面解析几何第5课时直线与圆的位置关系考情分析考点新知掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．①能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系.②②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.1.已知圆O：x2＋y2＝4，则过点P(2，4)与圆O相切的切线方程为________________．答案：3x－4y＋10＝0或x＝2解析：∵点P(2，4)不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为y＝k(x－2)＋4.根据d＝r，∴|－2k＋4|1＋k2＝2，解得k＝34，所以y＝34(x－2)＋4，即3x－4y＋10＝0.因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x＝2.2.(必修2P115练习1改编)已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是________．答案：相交解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝5，0＜d＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．3.(必修2P115练习4改编)若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．答案：(－3，3)解析：由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k＜3.4.过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________．答案：(2，2)解析：本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，则|PO|＝2，由x2＋y2＝4，x＋y＝22，可得x＝2，y＝2.5.(必修2P107习题4改编)以点(2，－2)为圆心并且与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相外切的圆的方程是________．答案：(x－2)2＋(y＋2)2＝9解析：设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝r2(r0)，此圆与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝4相外切，所以（2＋1）2＋（－2－2）2＝2＋r，解得r＝3.所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9.1.直线与圆的位置关系(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，无公共点．2.直线与圆的位置关系的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)的位置关系的判断方法：(1)几何方法：圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d，drÛ直线与圆相交；d＝rÛ直线与圆相切；drÛ直线与圆相离．(2)代数方法：由Ax＋By＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2，消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则Δ0Û直线与圆相交；Δ＝0Û直线与圆相切；Δ0Û直线与圆相离．3.圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2)判断两圆位置关系的方法两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r10)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)的圆心距为d，则dr1＋r2Û两圆外离；d＝r1＋r2Û两圆外切；|r1－r2|dr1＋r2Û两圆相交；d＝|r1－r2|(r1≠r2)Û两圆内切；0≤d|r1－r2|(r1≠r2)Û两圆内含(d＝0时为同心圆).题型1直线与圆的位置关系例1已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时直线l的方程．(1)证明：直线l的方程整理得(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，∵m∈R，∴2x＋y－7＝0，x＋y－4＝0x＝3，y＝1，也就是直线l恒过定点A(3，1)．由于|AC|＝55(半径)，∴点A(3，1)在圆C内，故直线l与圆C恒交于两点．(2)解：弦长最小时，直线l⊥AC，而kAC＝－12，故此时直线l的方程为2x－y－5＝0.变式训练已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．(1)求证：不论m取什么值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离．(1)证明：配方得(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25.设圆心为(x，y)，则x＝3m，y＝m－1，消去m，得x－3y－3＝0.故不论m取什么值，圆心在同一直线l：x－3y－3＝0上．(2)解：设与l平行的直线为n：x－3y＋b＝0，则圆心到直线l的距离d＝|3m－3（m－1）＋b|10＝|3＋b|10，由于圆的半径r＝5，∴当dr，即－510－3b510－3时，直线与圆相交；当d＝r，即b＝±510－3时，直线与圆相切；当dr，即b－510－3或b510－3时，直线与圆相离．题型2直线与圆相交的弦的问题例2已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l过A(－1，0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当PQ＝23时，求直线l的方程；(3)探索AM→·AN→是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．(1)证明：∵l与m垂直，且km＝－13，∴kl＝3.又kAC＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C.(2)解：①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因为PQ＝23，所以CM＝4－3＝1，则由CM＝|－k＋3|k2＋1＝1，得k＝43，∴直线l：4x－3y＋4＝0.从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.(3)解：∵CM⊥MN，∴AM→·AN→＝(AC→＋CM→)·AN→＝AC→·AN→＋CM→·AN→＝AC→·AN→.①当l与x轴垂直时，易得N－1，－53，则AN→＝0，－53.又AC→＝(1，3)，∴AM→·AN→＝AC→·AN→＝－5；②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由y＝k（x＋1），x＋3y＋6＝0，得N－3k－61＋3k，－5k1＋3k，则AN→＝－51＋3k，－5k1＋3k.∴AM→·AN→＝AC→·AN→＝－51＋3k＋－15k1＋3k＝－5.综上，AM→·AN→与直线l的斜率无关，且AM→·AN→＝－5.另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知AC⊥m，又CM⊥l，∴四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得AM→·AN→＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.备选变式（教师专享）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)．(1)若l1与圆相切，求l1的方程；(2)若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．解：(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即||3k－4－kk2＋1＝2，解得k＝34.∴所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.(2)(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由x＋2y＋2＝0，kx－y－k＝0，得N2k－22k＋1，－3k2k＋1.又直线CM与l1垂直，由y＝kx－k，y－4＝－1k（x－3），得Mk2＋4k＋31＋k2，4k2＋2k1＋k2.∴AM·AN＝k2＋4k＋31＋k2－12＋4k2＋2k1＋k22·2k－22k＋1－12＋－3k2k＋12＝2|2k＋1|1＋k21＋k2·31＋k2|2k＋1|＝6为定值．故AM·AN是定值，且为6.(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由x＋2y＋2＝0，kx－y－k＝0，得N2k－22k＋1，－3k2k＋1.再由y＝kx－k，（x－3）2＋（y－4）2＝4，得(1＋k2)x2－(2k2＋8k＋6)x＋k2＋8k＋21＝0.∴x1＋x2＝2k2＋8k＋61＋k2，得Mk2＋4k＋31＋k2，4k2＋2k1＋k2.以下同解法1.(解法3)用几何法连结CA并延长交l2于点B，kAC＝2，kl2＝－12，∴CB⊥l2.如图所示，△AMC∽△ABN，则AMAB＝ACAN，可得AM·AN＝AC·AB＝25·35＝6，是定值．题型3圆的切线问题例3求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．解：由题意，设所求圆的方程为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆C与直线y＝0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)．又已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.①当C1(a，4)时，有(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±210.∴所求圆方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝42或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝42.②当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±26.∴所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝42.备选变式（教师专享）自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切．求：(1)光线l和反射光线所在的直线方程；(2)光线自A到切点所经过的路程．解：根据对称关系，首先求出点A的对称点A′的坐标为()－3，－3，其次设过A′的圆C的切线方程为y＝k()x＋3－3.根据d＝r，即求出圆C的切线的斜率为k＝43或k＝34，进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0.最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.光路的距离为||A′M，可由勾股定理求得||A′M2＝||A′C2－||CM2＝7.【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)直线l过点(－4，0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果AB＝8，求直线l的方程．学生错解：解：设直线l的方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0.审题引导：(1)如何设过定点的直线的方程？(2)圆中弦长的问题，通常作怎样的辅助线构造直角三角形来解决？规范解答：解：过点(－4，0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；(4分)若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，(10分)此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，(12分)综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.(14分)错因分析：1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而漏解.2.对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解．1.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝