2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第7课时课后达标检测

[基础达标]一、选择题1．(2014·河北邢台质检)抛物线y2＝4x上与焦点的距离等于5的点的横坐标是()A．2B．3C．4D．5解析：选C.利用抛物线的定义可知，抛物线y2＝4x上与焦点的距离等于5，则x＋1＝5，所以点的横坐标为4.2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±22xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±42x解析：选D.因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.3．(2014·河南郑州市质量预测)过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为()A．4B．8C．12D．16解析：选D.抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.4．(2014·福建省质量检查)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A，如果△APF为正三角形，那么|PF|等于()A．43B．63C．6D．12解析：选C.设点P的坐标为(xP，yP)，则|PF|＝xP＋32.过点P作x轴的垂线交x轴于点M，则∠PFM＝∠APF＝60°，所以|PF|＝2|MF|，即xP＋32＝2xP－32，解得xP＝92，所以|PF|＝6.5．(2014·武汉市部分学校高三联考)过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在解析：选D.抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，设直线方程为x＝my＋1，设A，B的坐标为(x1，y2)，(x2，y2)，则A，B到直线x＝－2的距离之和为x1＋x2＋4.联立x＝my＋1，y2＝4x，消去x得y2－4my－4＝0，所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.所以x1＋x2＋4＝4m2＋6≥65.即A，B到直线x＝－2的距离之和为大于5.所以过焦点使得到直线x＝－2的距离之和等于5的直线不存在．故选D.二、填空题6．以抛物线x2＝－4y的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________．解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x2＋y2＝4.答案：x2＋y2＝47．(2014·武汉市部分学校高三起点调研测试)已知△FAB，点F的坐标为(1,0)，点A，B分别在图中抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是________．解析：抛物线的准线方程为直线x＝－1.设点B(x，y)(1x3)．由抛物线的定义得|AF|＋|AB|＝x＋1，故△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝x＋1＋2＝x＋3∈(4,6)．即△FAB的周长的取值范围是(4,6)．答案：(4,6)8．(2012·高考安徽卷)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝22，∴A(2,22)，∴直线AF的方程为y＝22(x－1)．由y＝22x－1，y2＝4x，解得x＝12，y＝－2，或x＝2，y＝22.由图知，点B的坐标为12，－2，∴|BF|＝12－(－1)＝32.答案：32三、解答题9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c.设抛物线方程为y2＝4c·x，∵抛物线过点(32，6)，∴6＝4c·32，∴c＝1，故抛物线方程为y2＝4x.又双曲线x2a2－y2b2＝1过点(32，6)，∴94a2－6b2＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴94a2－61－a2＝1.∴a2＝14或a2＝9(舍)．∴b2＝34，故双曲线方程为4x2－4y23＝1.10．已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴kFA＝43，∵MN⊥FA，∴kMN＝－34.又FA的方程为y＝43(x－1)，MN的方程为y－2＝－34x，联立方程组，解得x＝85，y＝45，∴N的坐标为85，45.[能力提升]一、选择题1．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()A．2B．22C．23D．4解析：选C.设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋2＝42，∴x0＝32，∴y20＝42x0＝42×32＝24，∴|y0|＝26.∵F(2，0)，∴S△POF＝12|OF|·|y0|＝12×2×26＝23.2.如图所示，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线l′于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x解析：选C.分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为E，G，过点F作FH⊥AE，垂足为H，设EC与x轴交于点M，如图所示．由抛物线的定义，可知|BF|＝|BG|，|AF|＝|AE|.在Rt△BCG中，sin∠GCB＝|BG||BC|＝|BF||BC|＝12，故∠GCB＝∠ECA＝30°.又CE⊥AE，所以∠CAE＝60°.在Rt△AFH中，cos∠FAH＝|AH||AF|，即cos60°＝|AH|3，解得|AH|＝32.故|EH|＝|AE|－|AH|＝3－32＝32.因为AE⊥EC，FH⊥AE，所以四边形MFHE是矩形．故|MF|＝|EH|＝32，而|MF|＝p，所以p＝32.故抛物线的方程为y2＝3x.二、填空题3．(2014·河南开封模拟)已知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点为F，准线l与对称轴交于R点，过抛物线上一点P(1,2)作PQ⊥l于Q，则抛物线的焦点坐标是________，梯形PQRF的面积是________．解析：把P(1,2)代入y＝ax2，得a＝2，所以抛物线方程为x2＝12y，故焦点F0，18.又R0，－18，|FR|＝14，|PQ|＝2＋18＝178，所以梯形的面积为12×14＋178×1＝1916.答案：0，1819164．(2014·湖北省七市高三联考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．则：(1)y1y2＝________；(2)△ABF面积的最小值是________．解析：(1)不妨设点A在x轴上方，当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时点A(2,22)，B(2，－22)，故y1y2＝－8；当直线AB的斜率存在时，设为k，故直线AB的方程为y＝k(x－2)．联立y＝kx－2，y2＝4x，消去y得k2x2－(4k2＋4)x＋4k2＝0，由根与系数的关系得x1x2＝4，所以y1y2＝(2x1)·(－2x2)＝－4x1x2＝－8；综上，y1y2＝－8.(2)△ABF面积为S＝12×1×|y1－y2|.当直线AB的斜率不存在时，S＝12×1×|22－(－22)|＝22；当直线AB的斜率存在时，△ABF面积为S＝12×1×|y1－y2|＝12y21＋y22－2y1y2＝124x1＋4x2－2×2x1×()－2x2＝1216k2＋321232＝22，综上，△ABF面积的最小值是22.答案：(1)－8(2)22三、解答题5．已知圆C过定点F－14，0，且与直线x＝14相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x＋1)(k∈R)相交于A，B两点．(1)求曲线E的方程；(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．解：(1)由题意，点C到定点F－14，0和直线x＝14的距离相等，故点C的轨迹E的方程为y2＝－x.(2)由方程组y2＝－x，y＝kx＋1消去x后，整理得ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有y1＋y2＝－1k，y1y2＝－1.设直线l与x轴交于点N，则N(－1,0)．∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝12|ON||y1|＋12|ON||y2|，＝12|ON||y1－y2|＝12×1×y1＋y22－4y1y2＝121k2＋4.∵S△OAB＝10，∴121k2＋4＝10，解得k＝±16.6．(选做题)(华约自主招生试题)点A在直线y＝kx上，点B在y＝－kx上，其中k0，|OA|·|OB|＝k2＋1且A、B在y轴同侧．(1)求AB中点M的轨迹C；(2)曲线C与抛物线x2＝2py(p0)相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则y1＝kx1，y2＝－kx2.由|OA|·|OB|＝k2＋1得，x21＋kx12·x22＋－kx22＝k2＋1，化简得x1x2＝1.因为点M为线段AB的中点，所以x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22＝kx1－x22，所以x20－y20k2＝x1＋x224－x1－x224＝x1x2＝1.故点M的轨迹方程为x2－y2k2＝1，点M的轨迹C是焦点为(±k2＋1，0)，实轴长为2的双曲线．(2)证明：将x2＝2py(p0)与x2－y2k2＝1联立，消去x得y2－2pk2y＋k2＝0.①因为曲线C与抛物线相切，所以Δ＝4p2k4－4k2＝0.又因为p、k0，所以pk＝1.结合①解得y＝k，x＝±2，因此两切点分别在定直线x＝2，x＝－2上，两切点为D(2，k)，E(－2，k)．由x2＝2py得y＝x22p，则y′＝xp，于是抛物线在点D(2，k)处的切线方程为y＝2p(x－2)＋k，即y＝2px－1p，在点E(－2，k)处的切线方程为y＝－2p(x＋2)＋k，即y＝－2px－1p.