2013走向高考数学详细答案3-6正弦定理和余弦定理

高考数学总复习人教A版第3章三角函数与三角形高考数学总复习人教A版第3章第六节第六节正弦定理和余弦定理高考数学总复习人教A版第3章第六节高考数学总复习人教A版第3章第六节重点难点重点：正余弦定理及三角形面积公式．难点：在已知三角形的两边和其中一边对角的情况下解的讨论．知识归纳1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．高考数学总复习人教A版第3章第六节2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC或cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.高考数学总复习人教A版第3章第六节3．三角形中的常见结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)有关三角形内角的常用三角函数关系式sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC;sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2；tanA＋B2＝cotC2.高考数学总复习人教A版第3章第六节(5)△ABC的面积公式有：①S＝12a·h(h表示a边上的高)；②S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R；③S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．④S＝PP－aP－bP－c，其中P＝12(a＋b＋c)．(6)在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB.高考数学总复习人教A版第3章第六节4．解斜三角形的类型解斜三角形有下表所示的四种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°求出角A；由正弦定理求出b与c；在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理由余弦定理求出第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解高考数学总复习人教A版第3章第六节已知条件应用定理一般解法三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B，由A＋B＋C＝180°求出角C，再利用正弦定理求出c边，可有两解，一解或无解，详见下表.高考数学总复习人教A版第3章第六节在△ABC中，已知a、b和A时解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形高考数学总复习人教A版第3章第六节A为锐角A为钝角或直角关系式absinAa＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解高考数学总复习人教A版第3章第六节误区警示1．在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形问题时，可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．高考数学总复习人教A版第3章第六节2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解．注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．3．一般地，sinαsinβ⇔/αβ，但在△ABC中，sinAsinB⇔AB.高考数学总复习人教A版第3章第六节高考数学总复习人教A版第3章第六节一、判断三角形形状的方法根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边．具体有如下四种方法：①通过正弦定理实施边角转换；②通过余弦定理实施边角转换；高考数学总复习人教A版第3章第六节③通过三角变换找出角之间的关系；④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨论；注意：在△ABC中，b2＋c2－a20⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直角，b2＋c2－a20⇔A为钝角．高考数学总复习人教A版第3章第六节二、解题技巧在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosA＋cosB0.简证如下：C有解⇔A＋B有解⇔0A＋Bπ⇔0Aπ－Bπ⇔cosAcos(π－B)⇔cosA－cosB⇔cosA＋cosB0.因此判断C是否有解，只须考虑cosA＋cosB的符号即可．了解这一结论，对做选择题或填空题来说，将十分方便．高考数学总复习人教A版第3章第六节[例1]在△ABC中，sinA＝513，cosB＝45，求cosC.解析：∵sinA＝513，∴cosA＝±1213当cosA＝1213时，满足cosA＋cosB0当cosA＝－1213时，cosA＋cosB0，∴cosA＝－1213舍去∴cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝513×35－1213×45＝－3365.高考数学总复习人教A版第3章第六节点评：可利用大边对大角讨论：由cosB＝45得sinB＝35513＝sinA，∴ba，即BA，∴A为锐角，∴cosA＝1213，以下略．高考数学总复习人教A版第3章第六节高考数学总复习人教A版第3章第六节[例1](1)在△ABC中，若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________.(2)(2011·北京西城区期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则角A等于()A．150°B．90°C．60°D．30°正弦定理的应用高考数学总复习人教A版第3章第六节解析：(1)已知两角和一边只有一解，由B＝30°，C＝105°得，A＝45°，由正弦定理得，b＝asinBsinA＝4sin30°sin45°＝22.(2)根据正弦定理得1sinA＝2sin45°，∴sinA＝12，∵ab，∴A为锐角，∴A＝30°，故选D.答案：(1)22(2)D高考数学总复习人教A版第3章第六节点评：(1)已知两角和一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论．这是易错的地方，也是常考查的地方．高考数学总复习人教A版第3章第六节在△ABC中，(1)若A＝105°，B＝30°，c＝6，则b＝________.(2)若A＝30°，a＝3，b＝4，则△ABC解的情况为()A．一解B．两解C．无解D．无法判定高考数学总复习人教A版第3章第六节解析：(1)C＝180°－(A＋B)＝45°，由正弦定理得，csinC＝bsinB，∴6sin45°＝bsin30°，∴b＝6sin30°sin45°＝32.(2)∵4sin30°＝234，∴此三角形有两解，如图．答案：(1)32(2)B高考数学总复习人教A版第3章第六节[例2]在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长．已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________，bsinBc＝________.分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理．由b2＝ac用正弦定理可求bsinBc的值．余弦定理的应用高考数学总复习人教A版第3章第六节解析：解法1：∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac.又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，∴∠A＝60°.在△ABC中，由正弦定理得sinB＝bsinAa，∵b2＝ac，∠A＝60°，∴bsinBc＝b2sinAac＝sin60°＝32.高考数学总复习人教A版第3章第六节解法2：(求∠A同解法1)在△ABC中，由面积公式得12bcsinA＝12acsinB.∵b2＝ac，∴csinA＝bsinB.∴bsinBc＝sinA＝32.答案：60°；32高考数学总复习人教A版第3章第六节点评：解三角形时，找三边一角之间的关系，常用余弦定理，两边两角之间的关系常用正弦定理．高考数学总复习人教A版第3章第六节(文)(2011·南昌调研)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3高考数学总复习人教A版第3章第六节解析：由条件得cosB＝a2＋c2－b22ac＝32，∴B＝π6.答案：A高考数学总复习人教A版第3章第六节(理)(2011·大连统考)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝()A.14B.34C.24D.23高考数学总复习人教A版第3章第六节解析：由题意得b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－a×2a2a×2a＝34，故选B.答案：B高考数学总复习人教A版第3章第六节[例3]根据所给条件，判断△ABC的形状．(1)若acosA＝bcosB，则△ABC形状为________．(2)若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC形状为________．三角形形状的判定高考数学总复习人教A版第3章第六节解析：(1)由余弦定理得acosA＝bcosB⇒a·(b2＋c2－a22bc)＝b·(a2＋c2－b22ac)⇒a2c2－a4－b2c2＋b4＝0，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0∴a＝b或c2＝a2＋b2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．高考数学总复习人教A版第3章第六节(2)由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC即tanA＝tanB＝tanC，∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．答案：(1)等腰或直角三角形(2)等边三角形高考数学总复习人教A版第3章第六节点评：根据已知条件，适当选取定理，化边为角或化角为边，进行边角互化，是解决这类问题的基本途径．高考数学总复习人教A版第3章第六节(2011·福建三中期末)若a、b、c是△ABC的三边，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相离，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形高考数学总复习人教A版第3章第六节解析：由题设知|c|a2＋b21，即a2＋b2c2，即a2＋b2－c20，于是cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以∠C为钝角．故△ABC为钝角三角形．答案：D高考数学总复习人教A版第3章第六节[例4]已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且a＝4，b＋c＝5，tanB＋tanC＋3＝3tanB·tanC，则△ABC的面积为()A.34B．33C.334D.34三角形的面积公式高考数学总复习人教A版第3章第六节解析：∵tanB＋tanC＋3＝3tanB·tanC，∴tanB＋tanC＝－3(1－tanB·tanC)⇒tanB＋tanC1－tanB·tanC＝－3⇒tan(B＋C)＝－3，∴B＋C＝120，∴A＝60°，将A＝60°，a＝4，b＋c＝5代入a2＝b2＋c2－2bccosA，高考数学总复习人教A版第3章第六节得16＝25－2bc－2bc·12，∴bc＝3，∴S△ABC＝12bcsinA＝334，故选C.答案：C高考数学总复习人教A版第3章第六节(文)(2011·南京一模)在△ABC中，已知A＝60°，AB→·AC→＝1，则△ABC面积为________．解析：∵AB→·AC→＝1，∴|AB→|·|AC→|cos60°＝1，∴|AB→|·|AC→|＝2，∴S△ABC＝12|AB→|·|AC→|sinA＝12×2×32＝32.答案：32高考数学总复习人教A版第3章第六节(理)(2011·新课标全国文，15)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．解析：由余弦定理知72＝52＋BC2＋5BC，即BC2＋5BC－24＝0，解之得BC＝3，所以S＝12×5×3×sin120°＝1534.