搜索
正弦定理和余弦定理重点难点重点：正余弦定理及三角形面积公式．难点：在已知三角形的两边和其中一边对角的情况下解的讨论．知识归纳1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC或cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.3．三角形中的常见结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)有关三角形内角的常用三角函数关系式sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC;sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2；(5)△ABC的面积公式有：①S＝12a·h(h表示a边上的高)；②S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；(6)在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB.4．解斜三角形的类型解斜三角形有下表所示的四种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°求出角A；由正弦定理求出b与c；在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理由余弦定理求出第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B，由A＋B＋C＝180°求出角C，再利用正弦定理求出c边，可有两解，一解或无解，详见下表.一、判断三角形形状的方法根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边．具体有如下四种方法：①通过正弦定理实施边角转换；②通过余弦定理实施边角转换；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨论；注意：在△ABC中，b2＋c2－a20⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直角，b2＋c2－a20⇔A为钝角．[例1]在△ABC中，sinA＝513，cosB＝45，求cosC.解析：∵sinA＝513，∴cosA＝±1213当cosA＝1213时，满足cosA＋cosB0当cosA＝－1213时，cosA＋cosB0，∴cosA＝－1213舍去∴cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝513×35－1213×45＝－3365.点评：可利用大边对大角讨论：由cosB＝45得sinB＝35513＝sinA，∴ba，即BA，∴A为锐角，∴cosA＝1213，以下略．[例1](1)在△ABC中，若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________.(2)(2011·北京西城区期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则角A等于()A．150°B．90°C．60°D．30°正弦定理的应用解析：(1)已知两角和一边只有一解，由B＝30°，C＝105°得，A＝45°，由正弦定理得，b＝asinBsinA＝4sin30°sin45°＝22.(2)根据正弦定理得1sinA＝2sin45°，∴sinA＝12，∵ab，∴A为锐角，∴A＝30°，故选D.答案：(1)22(2)D[例2]在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c＝21，b＝4，且BC边上的高AD＝23.则(1)角C＝________；(2)a＝________.余弦定理的应用解析：△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，则D在线段BC上，sinC＝234＝32，则C＝60°.又由余弦定理可知(21)2＝42＋a2－2·4·a·12，即a2－4a－5＝0，∴a＝5或a＝－1(舍)．因此所求角C＝60°，a边长为5.答案：(1)60°(2)5(文)(2011·南昌调研)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：由条件得cosB＝a2＋c2－b22ac＝32，∴B＝π6.答案：A(理)(2011·大连统考)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝()A.14B.34C.24D.23解析：由题意得b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－a×2a2a×2a＝34，故选B.答案：B[例3]根据所给条件，判断△ABC的形状．(1)若acosA＝bcosB，则△ABC形状为________．(2)若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC形状为________．三角形形状的判定解析：(1)由余弦定理得acosA＝bcosB⇒a·(b2＋c2－a22bc)＝b·(a2＋c2－b22ac)⇒a2c2－a4－b2c2＋b4＝0，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0∴a＝b或c2＝a2＋b2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．(2)由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC即tanA＝tanB＝tanC，∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．答案：(1)等腰或直角三角形(2)等边三角形(理)(2011·天津模拟)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．正三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴1＋cosB2＝sinA＋sinC2sinC，∴sinCcosB＝sinA，∴sinCcosB＝sin(B＋C)，∴sinBcosC＝0，∵0B，Cπ，∴sinB≠0，cosC＝0，∴C＝π2，故选A.答案：A[例4]已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且a＝4，b＋c＝5，tanB＋tanC＋3＝3tanB·tanC，则△ABC的面积为()A.34B．33C.334D.34三角形的面积公式分析：由tanB＋tanC及tanB·tanC联想到两角和的正切公式：tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanB·tanC，又tan(B＋C)＝tanA，故由条件式变形可求角A，问题转化为已知边a角A和b＋c求△ABC的面积，因此S△ABC＝12bcsinA，只须用余弦定理建立a、A、b、C的方程，整体处理求出bc即可获解．解析：∵tanB＋tanC＋3＝3tanB·tanC，∴tanB＋tanC＝－3(1－tanB·tanC)⇒tanB＋tanC1－tanB·tanC＝－3⇒tan(B＋C)＝－3，∴B＋C＝120，∴A＝60°，将A＝60°，a＝4，b＋c＝5代入a2＝b2＋c2－2bccosA，得16＝25－2bc－2bc·12，∴bc＝3，∴S△ABC＝12bcsinA＝334，故选C.答案：C(文)(2011·南京一模)在△ABC中，已知A＝60°，AB→·AC→＝1，则△ABC面积为________．解析：∵AB→·AC→＝1，∴|AB→|·|AC→|cos60°＝1，∴|AB→|·|AC→|＝2，∴S△ABC＝12|AB→|·|AC→|sinA＝12×2×32＝32.答案：32(理)(2011·新课标全国文，15)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．解析：由余弦定理知72＝52＋BC2＋5BC，即BC2＋5BC－24＝0，解之得BC＝3，所以S＝12×5×3×sin120°＝1534.答案：1534三、解答题5．(文)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．[分析]由条件可知，△ABC中已知两角和一边(A，B，b)，故三角形有惟一解，通过正弦定理可求sinC的值和边a的值，代入面积公式可求得其面积．[解析](1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝π3，cosA＝45，所以C＝2π3－A，sinA＝35.于是sinC＝sin(2π3－A)＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310.又因为B＝π3，b＝3，所以在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.于是△ABC的面积S＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.(理)(2011·绵阳一诊)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且atanB＝203，bsinA＝4.(1)求cosB和a；(2)若△ABC的面积S＝10，求cos4C的值．[解析](1)由bsinA＝4，得asinB＝4，又atanB＝203，∴cosB＝35.又由atanB＝203知tanB0，则sinB＝45，tanB＝43，故a＝5.(2)由S＝12acsinB，得c＝5，∴A＝C.由cos4C＝2cos22C－1＝2cos2(A＋C)－1＝2cos2B－1＝2×(35)2－1＝－725.