材料力学 平面图形的几何性质

附录平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从前面介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩IP、抗扭截面系数WP等一些几何量密切相关。因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。第一节静矩一、静距的概念AySzddAzSyddAAyyAAzzAzSSAySSddddzydAyz静距是面积与它到轴的距离之积。平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。它常用单位是m3或mm3。§附录-1静矩形心dAzyyzCxCyAyAyAzAzCCAydAyAzdAzACACASyASzzCyCCyCzzASyAS平面图形对z轴（或y轴）的静矩，等于该图形面积A与其形心坐标yC（或zC）的乘积。§附录-1静矩当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。CyCzzASyAS§附录-1静矩二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即niCiiCnnCCyniCiiCnnCCzzAzAzAzASyAyAyAyAS1221112211式中yCi、zCi及Ai分别为各简单图形的形心坐标和面积;n为组成组合图形的简单图形的个数。niiniCiiCniiniCiiCAyAyAzAz1111组合图形形心的坐标计算公式§附录-1静矩例附-1矩形截面尺寸如图所示。试求该矩形对z1轴的静矩Sz1和对形心轴z的静矩Sz。z1b/2b/2h/2h/2zCy2221bhhbhyASCz解(1)计算矩形截面对z1轴的静矩(2)计算矩形截面对形心轴的静矩由于z轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形截面对z轴的静矩为Sz=0§附录-1静矩例附-2试计算如图所示的平面图形对z1和y1的静矩，并求该图形的形心位置。801201010z1y1C1C2解将平面图形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ组成矩形Ⅰ5mmmm2101Cz60mmmm21201Cy矩形Ⅱ45mmmm270012Cz5mmmm2102CyA1=10×120mm2=1200mm2A2=70×10mm2=700mm2§附录-1静矩801201010z1y1C1C2C1（5,60）C2（45,5）该平面图形对z1轴和y1轴的静矩分别为343122111mm107.55mm5700602001niCCCiizyAyAyAS343122111mm103.75mm4570051200niCCCiiyzAzAzAS求得该平面图形的形心坐标为19.74mmmm7001200103.75411niiniCiCAzAzi39.74mmmm7001200107.55411niiniCiCAyAyi§附录-1静矩第二节惯性矩、极惯性矩一、惯性矩、极惯性矩惯性矩是面积与它到轴的距离的平方之积。AyAzAzIAyIdd22dAzyyzr极惯性矩是面积对极点的二次矩。yzAIIAId2rr惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯性矩不同。极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也各不相同。惯性矩恒为正值，常用单位为m4或mm4。§附录-2惯性矩、极惯性矩二、惯性半径AiIAiIAiIPPyyzz222,,AIiAIiAIiPPyyzz,,式中iz、iy、iP分别称为平面图形对z轴、y轴、和极点的惯性半径，也叫回转半径。单位为m或mm。或改写成惯性半径愈大，平面图形对该轴的惯性矩（或对极点的极惯性矩）也愈大。常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即§附录-2惯性矩、极惯性矩例附-3矩形截面的尺寸如图所示。试计算矩形截面对其形心轴z、y的惯性矩及惯性半径。解(1)计算矩形截面对z轴和y轴的惯性矩取平行于z轴的微面积dA，dA到z轴的距离为y，则dA=bdy截面对z轴的惯性矩为AzdAyI2截面对y轴的惯性矩为AydAzI2bh/2zCydydz223212hhbhbdyy223212bbhbhdzz§附录-2惯性矩、极惯性矩(2)计算矩形截面对z轴、y轴的惯性半径截面对z轴和y轴的惯性半径分别为12123hbhbhAIizz12123bbhhbAIiyybh/2zCy§附录-2惯性矩、极惯性矩AaIIxcx2CxcycyxObadAcycxAxdAyI2ACdAay2AcdAy2AcdAya2AdAa2xcIAa2AccyAdAyAbIIycy2在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小。第三节惯性矩的平行移轴公式、组合图形的惯性矩图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。一、惯性矩的平行移轴公式xc、yc轴通过截面的形心，称为形心轴例附-4计算如图所示的矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩。z1b/2b/2h/2h/2zCy3212232321bhbhhbhAhIIzz解z、y轴是矩形截面的形心轴，它们分别与z1轴和y1轴平行，则由平行移轴公式得，矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩分别为3212232321hbbhbhbAbIIyy§附录-3组合图形的惯性矩y1二、用平行移轴公式计算组合截面的惯性矩组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即iynyyyyiznzzzzIIIIIIIIII2121计算组合图形的惯性矩步骤1.确定组合图形的形心位置，2.查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩，3.利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。§附录-3组合图形的惯性矩580120500250zC例附-5试计算图示T形截面对形心轴z、y的惯性矩。a1a2ycz1C1z2C2zoOA1A2§附录-3组合图形的惯性矩23211(500120)6010,(58060)640Ammmmymmmm23222580(250580)14510,2902Ammmmymmmm3333601064014510290392601014510iiAyycmmmmA解求截面形心位置由于截面有一根对称轴y，故形心必在此轴上，即zc=0选坐标系yoz′，以确定截面形心的位置yC。将截面图形分为两个矩形。500580120yc250z1C1zCz2C2z’OA1A2矩形Ⅱ矩形Ⅰ23211(500120)6010,(58060)640Ammmmymmmm23222580(250580)14510,2902Ammmmymmmm§附录-3组合图形的惯性矩12ZzzIII33441122500120250580,1212ZZImmImmZIyI计算及整个截面图形对z轴、y轴的惯性矩应分别等于两个矩形对z轴、y轴的惯性矩之和。即两个矩形对自身形心轴的惯性矩分别为33441122500120250580,1212ZZImmImm500580120yc250z1C1zCz2C2z’OA1A2§附录-3组合图形的惯性矩3224841111150012024850012037.61012ZZIIaAmmmm3224842222225058010225058055.61012ZZIIaAmmmm8848412(37.61055.610)93.210zZZIIImmmm应用平行移轴公式得所以500580120a1a2yc250z1C1zCz2C2z’OA1A23224841111150012024850012037.61012ZZIIaAmmmm3224841111150012024850012037.61012ZZIIaAmmmm§附录-3组合图形的惯性矩y轴正好经过矩形截面A1和A2的形心，所以4843321mm1020.1mm1225058012500120yyyIII500580120yc250z1C1zCz2C2z’OA1A2§附录-3组合图形的惯性矩