材料力学--附录A截面的几何性质

附录A截面的几何性质附录A截面的几何性质在工程中，我们总是希望在满足安全条件的前提下，尽可能地使用较少的材料，以取得较好的经济效果，由此就会遇到一些与构件的截面形状和尺寸有关的几何量，这些量统称为截面的几何性质。截面的几何性质是影响构件的承载力的重要因素之一。一般工程问题，截面的几何性质主要包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、形心主轴和形心主矩等。工程力学中，研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定性问题，都要涉及到与截面的几何性质有关的量。附录A截面的几何性质静矩、形心及其相互关系惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩与惯性积的平行移轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算附录A截面的几何性质静矩、形心及其相互关系惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩与惯性积的平行移轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算AyAzSdAzAySd截面A对于y轴的静矩截面A对于z轴的静矩zyOdAyzrA注意：静矩是一个代数量，可正、可负或为零；同一截面对不同坐标轴的静矩不同；静矩的常用单位是m3或mm3。附录A截面的几何性质AyAzSdAzAySdzyOdAyzrA,AAdzASzAyCAAdyASyAzCzCyCC点C(zC，yC)称为截面形心，通过形心的坐标轴称为形心轴。1、截面对形心轴的静矩为零；2、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。3、已知静矩可确定截面的形心坐标；已知截面的形心坐标可确定静矩。附录A截面的几何性质由若干个简单截面（如矩形、圆形、三角形等）组成的截面称为组合截面。组合截面对于某一轴的静矩等于各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即niniCiiyCiizzASyAS11,niiniCiiyCniiniCiizCAzAASzAyAASy1111,也可以通过静矩来计算组合截面的形心位置，即其中Ai、zCi、yCi分别表示第i个简单截面的面积及形心坐标。附录A截面的几何性质101080120212211AAAzAzAAzziiCmm3.201080110101101035mmyC7.341080110101101060试确定下图的形心。zyC2C1C1(0,0)C2(-35,60)【例1】【解】方法一：用正面积法求解。将截面分割为两个矩形，建立坐标系如图所示。形心C坐标为（-20.3，34.7）。C附录A截面的几何性质mm3.201107080120)11070(5C1（0,0）C2（5,5）【解】方法二：用负面积法求解。将截面分割为两个矩形，建立坐标系如图所示。101080120C2负面积zyC1212211AAAzAzAAzziiCmmyC3.20C形心C坐标为（-20.3，-20.3）。这两种方法所得到的形心坐标不同是由于选择不同的坐标系引起的。附录A截面的几何性质试确定等腰梯形面积的形心和对底边的静矩。abhC1C2zyO截面对底边的静矩2211yAyASz3213221hahhbhbah262形心位置0CzbabahASyzC23C【例2】【解】附录A截面的几何性质附录A截面的几何性质静矩、形心及其相互关系惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩与惯性积的平行移轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算AyAdzI2AzAdyI2截面对y轴的惯性矩截面对z轴的惯性矩APAdrI2截面对O点的极惯性矩zyOdAyzrA注意：惯性矩恒为正值；同一截面对不同坐标轴的惯性矩不同；惯性矩的常用单位是m4或mm4。附录A截面的几何性质zyOdAyzrAAIiAIiyyzz,力学计算中，常将惯性矩写成截面面积A与某一长度（称为惯性半径）平方的乘积，即或22,yyzzAiIAiI注意：惯性半径恒为正值；同一截面对不同坐标轴的惯性半径不同；惯性矩的常用单位是m或mm。附录A截面的几何性质zyOdAyzrAAyzAzdyI截面对yz轴的惯性积注意：惯性积是一个代数量，可正、可负或为零；惯性积是对一对坐标轴而言的，这与静矩、惯性矩和惯性半径是不同的；惯性积的常用单位是m4或mm4；如果一对相互垂直的轴中一个坐标轴通过截面形心，则截面对这一对轴的惯性积为零，反之，如果截面对一对轴的惯性积为零，则其中一轴必通过截面形心。附录A截面的几何性质已知：圆截面直径d，求：Iy，Iz，IP。drdrdACyz取圆环微元面积rdrπAd2202dPAdrI3224202dπrdrπrd【例3】【解】6424dπIIIPzy附录A截面的几何性质【例4】【解】已知：矩形截面b×h，求：Iy，Iz。CyzbhzdzdA2ydydA1分别取平行于x轴和y轴的微元面积，hdzdAbdydA2,11232122222bhbdyydAyIhhhhz　　　123hbIy附录A截面的几何性质附录A截面的几何性质静矩、形心及其相互关系惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩与惯性积的平行移轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算平行移轴定理（parallel-axistheorem）是指截面对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间有如下关系：abAIIAaIIAbIIyz1z1y2z1z2y1yAzyOO1ab其中：A为截面面积，x、y轴为形心轴，x1、y1为分别与x、y轴平行的轴，a、b分别为相应平行轴之间的距离。附录A截面的几何性质AzyOO1abdAyzy1z1证明：A111z1yA211zA211yAdzyIAdyIAdzI根据惯性矩和惯性积的定义显然有即推导Iy、Iz、Iyz与Iy1、Iz1、Iy1z1的关系。y1=y＋a，z1=z＋b同时还应有代入上式得附录A截面的几何性质AzyOO1abdAyzy1z1证明：AzyAzAyAdbzayIAdayIAdbzI112121abAbSaSIIAaaSIIAbbSIIzyyzzyzzzyyy11212122即y1=y＋az1=z＋bA111z1yA211zA211yAdzyIAdyIAdzI附录A截面的几何性质AzyOO1abdAyzy1z1abAbSaSIIAaaS2IIAbbS2IIzyyz1z1y2zz1z2yy1y由于y、z轴通过截面形心，所以Sy＝Sz＝0，即有abAIIAaIIAbIIyz1z1y2z1z2y1y证明：[证毕]利用平行移轴定理可以通过已知截面对一对坐标的惯性矩和惯性积，求其对另一对坐标的惯性矩与惯性积。附录A截面的几何性质abAIIAaIIAbIIyz1z1y2z1z2y1y因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。在所有互相平行的轴中，对形心轴的惯性矩是最小的。附录A截面的几何性质试求三角形对z、z1轴的惯性矩。zb/2b/2h/2h/2Oyz1ydy矩形zzII21243bh23221bhhIIzCzzC2322bhhhIIzCz262423bhhbhIzC363bh923633bhbh43bh123bhIz矩形【例5】【解】C附录A截面的几何性质附录A截面的几何性质静矩、形心及其相互关系惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩与惯性积的平行移轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算所谓转轴定理就是坐标轴绕原点转动时，截面对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。dAyzzyO附录A截面的几何性质dAzyOyzFCDBE现在推导图示截面的Iy、Iz、Iyz与Iy1、Iz1、Iy1z1的关系。sincos1zyBEFDCDFDFCysincos1yzBDOEECOEOCzAzAdyI211AAdzy2sincosAAAAdzAdyzAdy2222sincossin2cos2221sin2sincosyzyAzzIIAdyII附录A截面的几何性质dAzyOyzFCDBE2221sin2sincosyzyAzzIIAdyII将22cos1sin,22cos1cos22代入上式，得2sin2cos221zyyzyzzIIIIII同理，可得2sin2cos221zyyzyzyIIIIII2cos2sin211zyyzyzIIII这就是惯性矩与惯性积的转轴公式。附录A截面的几何性质2sin2cos221zyyzyzzIIIIII2sin2cos221zyyzyzyIIIIII2cos2sin211zyyzyzIIII这就是惯性矩与惯性积的转轴公式：dAzyOyzFCDBE即：截面对通过同一坐标原点任意一对相互垂直的轴的惯性矩之和为常量，等于截面对原点的极惯性矩。PyzyzIIIII11显然有附录A截面的几何性质附录A截面的几何性质静矩、形心及其相互关系惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩与惯性积的平行移轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算zyOα02sin2cos221zyyzyzzIIIIII2sin2cos221zyyzyzyIIIIII2cos2sin211zyyzyzIIII0)(01dIdzIz1、Iy1都是α的函数，一定存在极值，则由得022cos22sin2211yzzyyzIIIIyzzyIII2tan0有即截面对轴的惯性矩中存在一对坐标轴x0、y0，使其惯性矩成为极值，且使惯性积为零。附录A截面的几何性质zyOα0yzzyIII2tan00202tan112cos02002tan12tan2sin又代入右边两式，化简后得惯性矩的极值的计算公式2204212zyyzyzzIIIIII2204212zyyzyzyIIIIII2sin2cos221zyyzyzzIIIIII2sin2cos221zyyzyzyIIIIII2cos2sin211zyyzyzIIII附录A截面的几何性质zyOα0yzzyIII2tan0通常称惯性积为零的一对坐标轴为主惯性轴，简称主轴；对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。AzyyzdAI000截面对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同，而对于主惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。由于截面惯性积是对一对坐标轴而言的，截面主惯性轴总是成对的。附录A截面的几何性质zyO对于任意截面都有主轴，如果坐标轴交点正好是截面形心，就称为形心主轴，其惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程中最有意义的是形心主轴与形心主矩。C