北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》立体几何中的向量平行于垂直问题2

立体几何中的向量方法2----利用向量解决平行与垂直问题1一、复习1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）22、平行与垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，abuv（1）平行关系线线平行ml//baba//线面平行//l0uaua面面平行//vuvu//3设直线l，m的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，abuv（2）垂直关系线线垂直ml0baba线面垂直luaua//面面垂直0vuvu4二、新课（一）用向量处理平行问题（二）用向量处理垂直问题5（一）用向量处理平行问题1:,,.//ABCDABEFMNBFFMANMNEBC例如图已知四边形、为两个正方形分别在其对角线上且求证：平面:,,,BEABFMANFBAC证明在正方形ABCD与ABEF中,,,.FBANAC存在实数使FM()()()(1).MNMFFAANBFEBACBEBAABADEBBEADEBBEBCBEBEBCADCBEFNM61:,,.//ABCDABEFMNBFFMANMNEBC例如图已知四边形、为两个正方形分别在其对角线上且求证：平面.,//MNBEBCMEBCMNEBC、、共面平面平面评注：向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是向量法。ADCBEFNM711111112.-,://ABCDABCDABDCBD例在正方形中求证平面平面11111:,,DADCDDxyz证明如图分别以、、三边所在的直线为轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,111(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)(1,0,1),(1,0,1)ABCDDBC1则则A1111111111111//.////.//.//.ADBCADBCADCBDABCBDABDCBD即直线，则平面同理右证：平面平面平面1CA1AB1BCD1DXZY811111112.-,://ABCDABCDABDCBD例在正方形中求证平面平面评注：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。XYZA1ABCD1B1C1D9（二）用向量处理垂直问题:''''','.ABCDABCDCCBDAFBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面,,''DADCDDxyzA证明:如图取分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0),(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)YXZFE10:''''','.ABCDABCDCCBDAFBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面'(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1)'(1,1,2)(2,2,0)0,'(1,1,2)(0,2,1)0',',.'AFDBDEAFDBAFDEAFDBAFDEDBDEDAFBDE又平面XYZEF11:''''','.ABCDABCDCCBDAFBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面评注：本题若用一般法证明，容易证A’F垂直于BD，而证A’F垂直于DE，或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。EFXYZ12'''''',''ABCABCAAABCACABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：.2/1,0,0,,',1cbcabaACcABbAAa设证明：设底面边长为bacCCACBABCabBBABABacACAACA''''''A'B'CBC'A向量法13'''''',''ABCABCAAABCACABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：220''()()12ACABcabacbcaabaacb2222(2)()(2)()22110caabbaabbaaabbab)()(''abbacABBCA'B'CBC'A14'''''',''ABCABCAAABCACABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：).,1,0('),,1,0('),,0,3(').0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(.,,2hChBhACBAh系如图建立空间直角坐标高为设底面边长为2220''31,2.''020.''ABAChhABBChBCAB'(3,1,),'(3,1,),'(0,2,)ABhAChBChA'B'CBC'A坐标法15三、小结利用向量解决平行与垂直问题向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。坐标法：利用数及其运算解决问题。两种方法经常结合起来使用。16四、作业011111111,,90,1,2,1,,.ABCABCACBACCBAAAABBDBCMCDBDM作业：如图直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面:,C解如图以为原点建立空间直角坐标系.111,0,0),(2,1,0),(0,1,1),2112(,,),(,1,0),222221111(,,),(2,1,1)(0,,),22222BBADMCDABDM(2，ABCDM1A1B1C17011111111,,90,1,2,1,,.ABCABCACBACCBAAAABBDBCMCDBDM作业：如图直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面1110,0.,.,,.CDABCDDMCDABCDDMABDMBDMCDBDM则为平面内的两条相交直线平面ABCDM1A1B1C18作业：2.课本p.116第2题。教后反思19lmabml//baba//aul//l0uauauv//vuvu//20ablmml0babaualluaua//vu0vuvu21