反比例函数与不等式

专题二反比例函数与不等式《财主和帽子》的故事：有一个贪婪的财主，拿了一匹上好的布料准备做一顶帽子，到了裁缝店，觉得这样好的布料做一顶帽子似乎浪费了，于是问裁缝：“这匹布可以做两顶帽子吗？”裁缝看了看财主一眼，说：“可以。”财主见他回答得那么爽快，心想，这裁缝肯定是从中占了些什么便宜，于是又问，“那做3顶帽子行吗？”裁缝依然很爽快地说：“行！”这时，财主更加疑惑了，嘀咕着：“多好的一匹布啊，那我做4顶可以吗”“行！”裁缝仍然很快地回答。经过一翻的较量后，财主最后问：“那我想做10顶帽子可以吗？”裁缝迟疑了一会，然后打量着财主，慢慢的说：“可以的。”这时财主才放下心来，心想：这匹布料如果只做一顶帽子，那就便宜裁缝了。瞧！这不让我说到10顶了吧。我还真聪明！嘿嘿……过了几天，财主到了裁缝店取帽子，结果一看，顿时傻了眼：10顶的帽子小得只能戴在手指头上了！这个故事隐含了什么数学关系？专题二反比例函数与不等式1.概念：函数叫做反比例函数2.图象：反比例函数的图象是双曲线，是不与两坐标轴相交的两条曲线．3.性质：(1)当k0时，其图象位于，在每个象限内，y随x的增大而；(2)当k0时，其图象位于，在每个象限内，y随x的增大而；(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．知识梳理第一、三象限减小第二、四象限增大(0)kykx例1、已知反比例函数y＝w－2x的图象的一支位于第一象限．(1)图象的另一支位于哪个象限？常数w的取值范围是什么？(2)在这个函数图象上任取点A(x1，y1)和B(x2，y2)．如果y1＞y2，那么x1与x2有怎样的大小关系？【规律与方法】(1)根据反比例函数的增减性可以确定反比例函数系数的符号．(2)利用反比例函数的增减性可以比较反比例函数值的大小，也可以利用反比例函数的图象比较大小；一、比较反比例函数值的大小•在比较大小时，不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的(分别在不同的两个象限)，在不同的象限是不能用它的性质来判断的，而是要分别讨论．值得注意：变式1.反比例函数y＝2x图象上的两个点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1＜x2，则下列关系成立的是()A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定变式2.已知A(－1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线y＝3＋2mx上，且y1＞y2，则m的取值范围是()A．m＜0B．m＞0C．m＞－32D．m＜－32DD二、利用函数图象解不等式例2.函数y1＝x和y2＝1x的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是()A．x＜－1或x＞1B．x＜－1或0＜x＜1C．－1＜x＜0或x＞1D．－1＜x＜0或0＜x＜1变式1.(2014·聊城)如图，一次函数y1＝k1x＋b的图象和反比例函数y2＝k2x的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点，若y1＜y2，则x的取值范围是()A．x＜1B．x＜－2C．－2＜x＜0或x＞1D．x＜－2或0＜x＜1CD【思想方法】通过画反比例函数图象，利用图象法解不等式．y1＝k1x＋by2＝数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。华罗庚变式2.(2014·黔西南州)已知如图，一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，不等式ax＋b＞kx的解集为()A．x＜－3B．－3＜x＜0或x＞1C．x＜－3或x＞1D．－3＜x＜1变式3.如图，正比例函数y＝kx(x≥0)与反比例函数y＝mx(x＞0)的图象交于点A(2，3)．(1)求k，m的值；(2)写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．解：(1)把A(2，3)分别代入y＝kx和y＝mx得：2k＝3，k＝32，3＝m2，m＝6B(2)x＞2例3、.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝mx的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2，OD＝4，△AOB的面积为1.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)直接写出当x＜0时，kx＋b－mx＞0的解集．解：(1)∵△AOB的面积为1，OB＝2，∴OA＝1，∴A(0，－1)，B(－2，0)，又∵OD＝4，∴OB＝2，易证△CDB≌△AOB，∴DC＝1，∴C(－4，1)，∴m＝－4，把(－4，1)，(－2，0)代入y＝kx＋b，得1＝－4k＋b0＝－2k＋b，解得k＝－12，b＝－1，一次函数解析式为：y＝－12x－1，反比例函数解析式为：y＝－4x(2)x＜－4变式4.(2014·南充)如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝mx的图象相交于点A(2，5)和点B，与y轴相交于点C(0，7)．(1)求这两个函数的解析式；(2)当x取何值时，y1＜y2?解：(1)∵反比例函数y2＝mx的图象过点A(2，5)，∴5＝m2，m＝10即反比例函数的解析式为y＝10x.∵一次函数y1＝kx＋b的图象过A(2，5)和C(0，7)，∴5＝2k＋7，k＝－1，即一次函数解析式为y＝－x＋7(2)解方程组y＝－x＋7y＝10x得x1＝2y1＝5或x2＝5y2＝2，∴另一交点B的坐标为(5，2)．根据图象可知，当0＜x＜2或x＞5时，y1＜y2.y1＝kx＋by2＝变式5.已知一次函数y1＝x＋m的图象与反比例函数y2＝6x的图象交于A，B两点．已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2.(1)求一次函数的解析式；(2)已知反比例函数图象在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．解：(1)由题意可知点A的横坐标为1，点A在y2＝6x上，则点A的纵坐标为6，∴A(1，6)，把A(1，6)代入y1＝x＋m得6＝1＋m，m＝5，∴一次函数的解析式为y1＝x＋5(2)∵点C到y轴的距离为3，则点C的横坐标为3，点C在y2＝6x上，则C(3，2)．联立y＝6xy＝x＋5，解得x1＝1y1＝6，x2＝－6y2＝－1，∴B(－6，－1)，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2，点D在y＝x＋5上，则D(－3，2)，CD＝3－(－3)＝6，点A到CD的距离为4，点B到DC的距离为3，S△ABC＝S△ADC＋S△BDC＝12×6×4＋12×6×3＝21综合运用：通过本节课的复习,我收获了……课堂小结一、比较反比例函数值的大小二、利用函数图象解不等式以形助数用数解形熟练掌握函数计算的基本方法，如待定系数法求解析式、解方程组求交点坐标的方法等．自我检测题.(2014·安顺)如图，点A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)是反比例函数y＝kx(x＞0)与一次函数y＝ax＋b的交点．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围．解：(1)由题意可知，m(m＋1)＝(m＋3)(m－1)．解得m＝3，∴A(3，4)，B(6，2)；∴k＝4×3＝12，∴y＝12x，∵A点坐标为(3，4)，B点坐标为(6，2)，∴3a＋b＝4，6a＋b＝2，∴a＝－23，b＝6，∴y＝－23x＋6(2)根据图象得x的取值范围：0＜x＜3或x＞6作业：完成全效B方法与技巧牢固掌握本章知识点，树立函数思想，运用数形结合思想、分类思想。1.比例系数k决定反比例函数y＝图象的分布情况2.关注与反比例函数有关的综合题，掌握其基本方法，如求交点坐标的方法等．3.解不等式与反比例函数综合性问题时，要注意运用“把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系”的策略．思想方法感悟提高kx失误与防范1．反比例函数中，y随x的大小而变化的情况，应分x0与x0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k0时，y随x的增大而增大”．双曲线上的点在每个象限内，y随x的变化是一致的，但在不同象限上的两个点比较函数值的大小时，不能按这个规律．当k0时，第一象限点的纵坐标值为正，而第三象限点纵坐标值都为负；当k0时，第二象限上的点的纵坐标值都为正，第四象限上的点的纵坐标值都为负．2．在比较大小时，不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的(分别在不同的两个象限)，在不同的象限是不能用它的性质来判断的，而是要分别讨论．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求.小结1、反比例函数图像的形状，位置，增减性,对称性，3.在比较大小时，运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求.应分x0与x0两种情况讨论。2.关注与反比例函数有关的综合题，掌握其基本方法，如待定系数法求解析式、求交点坐标的方法等．4、解不等式与反比例函数综合性问题时，要注意运用“把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系”的策略，数形结合．