2015专题五：函数与导数(含近年高考试题)

2015专题五：函数与导数在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线()yfx在0xx处的切线的斜率等于0()fx，切线方程为000()()()yfxxxfx(2)若可导函数()yfx在0xx处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。(3)对于可导函数()fx，不等式()fx00（）的解集决定函数()fx的递增（减）区间。(4)函数()fx在区间I上递增（减）的充要条件是：xI()fx0(0)恒成立(5)函数()fx在区间I上不单调等价于()fx在区间I上有极值，则可等价转化为方程()0fx在区间I上有实根且为非二重根。（若()fx为二次函数且I=R，则有0）。(6)()fx在区间I上无极值等价于()fx在区间在上是单调函数，进而得到()fx0或()fx0在I上恒成立(7)若xI，()fx0恒成立，则min()fx0;若xI，()fx0恒成立，则max()fx0(8)若0xI，使得0()fx0，则max()fx0；若0xI，使得0()fx0，则min()fx0.(9)设()fx与()gx的定义域的交集为D若xD()()fxgx恒成立则有min()()0fxgx(10)若对11xI、22xI，12()()fxgx恒成立，则minmax()()fxgx.若对11xI，22xI，使得12()()fxgx,则minmin()()fxgx.若对11xI，22xI，使得12()()fxgx，则maxmax()()fxgx.（11）已知()fx在区间1I上的值域为A,，()gx在区间2I上值域为B，若对11xI,22xI，使得1()fx=2()gx成立，则AB。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0fx有两个不等实根12xx、，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:①ln1(0)xxx②ln+1(1)xxx（）③1xex④1xex⑤ln1(1)12xxxx⑥22ln11(0)22xxxx考点一：导数几何意义：角度一求切线方程1．(2014·洛阳统考)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′π4，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为()A．3x－y－2＝0B．4x－3y＋1＝0C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0解析：选A由f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x得f′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x，则a＝f′π4＝3－2sinπ2＋2cosπ2＝1.由y＝x3得y′＝3x2，过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)，故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.角度二求切点坐标2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y＝3lnx＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是()A．(0,1)B．(1，－1)C．(1,3)D．(1,0)解析：选C由题意知y′＝3x＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)．角度三求参数的值3．已知f(x)＝lnx，g(x)＝12x2＋mx＋72(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m等于()A．－1B．－3C．－4D．－2解析：选D∵f′(x)＝1x，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72，m0，于是解得m＝－2，故选D.考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。[典例1]已知函数f(x)＝x2－ex试判断f(x)的单调性并给予证明．解：f(x)＝x2－ex，f(x)在R上单调递减，f′(x)＝2x－ex，只要证明f′(x)≤0恒成立即可．设g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，当x＝ln2时，g′(x)＝0，当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)0，当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)0.∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－20，∴f′(x)0恒成立，∴f(x)在R上单调递减．[典例2](2012·北京高考改编)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间．[解](1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，由已知可得f1＝a＋1＝c，g1＝1＋b＝c，2a＝3＋b，解得a＝b＝3.(2)令F(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋a24x＋1，F′(x)＝3x2＋2ax＋a24，令F′(x)＝0，得x1＝－a2，x2＝－a6，∵a0，∴x1x2，由F′(x)0得，x－a2或x－a6；由F′(x)0得，－a2x－a6.∴单调递增区间是－∞，－a2，－a6，＋∞；单调递减区间为－a2，－a6.[针对训练](2013·重庆高考)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋6x.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)·(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝12.(2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6lnx(x0)，f′(x)＝x－5＋6x＝x－2x－3x.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0x2或x3时，f′(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2x3时，f′(x)0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.考点三：已知函数的单调性求参数的范围[典例](2014·山西诊断)已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝lnx－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2x＋1＝－2x2－x－1x，令f′(x)＝0，即－2x2－x－1x＝0，解得x＝－12或x＝1.∵x0，∴x＝1.当0x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．(2)显然函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1x－2a2x＋a＝－2a2x2＋ax＋1x＝－2ax＋1ax－1x.①当a＝0时，f′(x)＝1x0，∴f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意．②当a0时，f′(x)≤0(x0)等价于(2ax＋1)·(ax－1)≥0(x0)，即x≥1a，此时f(x)的单调递减区间为1a，＋∞.由1a≤1，a0，得a≥1.③当a0时，f′(x)≤0(x0)等价于(2ax＋1)·(ax－1)≥0(x0)，即x≥－12a，此时f(x)的单调递减区间为－12a，＋∞.由－12a≤1，a0，得a≤－12.综上，实数a的取值范围是－∞，－12∪[1，＋∞)．[针对训练](2014·荆州质检)设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得f0＝1，f′0＝0，即c＝1，b＝0.(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)0，当x∈(0，a)时，f′(x)0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋20成立，即x∈(－2，－1)时，ax＋2xmax＝－22，当且仅当“x＝2x”即x＝－2时等号成立，所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－22)．考点四：用导数解决函数的极值问题[典例](2013·福建高考节选)已知函数f(x)＝x－1＋aex(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．[解](1)由f(x)＝x－1＋aex，得f′(x)＝1－aex.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－ae＝0，解得a＝e.(2)f′(x)＝1－aex，①当a≤0时，f′(x)0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna.x∈(－∞，lna)，f′(x)0；x∈(lna，＋∞)，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值，且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．[针对训练]设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝－12对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b，从而f′(x)＝6x＋a62＋b－a26，即y＝f′(x)关于直线x＝－a6对称．从而由题设条件知－a6＝－12，即a＝3.又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，得b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)，令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；当x∈(－2,1)时，f′(x)0，即f(x)在(－2,1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.考点五运用导数解决函数的最值问题[典例]已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．[解](1)f′(x)＝1x－a(x0)，①当a≤0时，f′(x)＝1x－a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．②当a0时，令f′(x)＝1x－a＝0，可得x＝1a，当0x1a时，f′(x)＝