Cauchy不等式论文完整版

学科分类号0701本科生毕业论文(设计)题目（中文）：Cauchy不等式及其推广和应用（英文）：TheextensionsandapplicationsoftheCauchyinequality学生姓名：李文伟学号：0609401023系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：曾岳生教授起止日期：2009.12-2010.052010年5月1日2怀化学院本科毕业论文（设计）诚信声明作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议.除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果.对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明.本声明的法律结果由作者承担.本科毕业论文（设计）作者签名：年月日3目录摘要................................................................................................错误!未定义书签。关键词............................................................................................错误!未定义书签。Abstract..........................................................................................错误!未定义书签。Keywords......................................................................................错误!未定义书签。1前言............................................................................................................................22Cauchy不等式的证明............................................................................................32.1n维实空间nR中的Cauchy不等式............................................................32.22()lR空间中的Cauchy不等式...................................................................62.3Riemann积分中的Cauchy不等式.............................................................72.4在概率空间(,,)FP中的Cauchy不等式.................................................82.5内积空间中的Cauchy不等式..................................................................102.6复数形式的Cauchy不等式......................................................................123Cauchy不等式的推广..........................................................................................133.1Cauchy不等式的指数形式.......................................................................133.2Cauchy不等式积分形式...........................................................................143.3Cauchy不等式矩阵形式...........................................................................154Cauchy不等式的应用..........................................................................................164.1Cauchy不等式在初等数学中的应用.......................................................174.1.1在代数中的应用................................................................................174.1.2用Cauchy不等式求最值.................................................................194.1.3在平面几何中的应用......................................................................204.1.4在平面解析几何中的应用..............................................................204.2Cauchy不等式在最小二乘法中的应用...................................................214.2.1在求直线回归方程系数中的应用....................................................214.2.2在判断极值存在中的应用................................................................224.3Cauchy不等式在标志变异指标中的运用...............................................234.4Cauchy不等式在概率论中的应用...........................................................24参考文献......................................................................................................................25致谢..............................................................................................................................27Cauchy不等式及其推广和应用摘要Cauchy不等式是数学中常见的不等式之一，也是不等式理论中的基本内容之一.本文归纳了Cauchy不等式基本形式的多种证明方法，阐述和证明了Cauchy不等式的其他形式，如：Cauchy不等式的无穷形式，积分形式，复数形式以及在概率空间和内积空间的形式.此外本文还对Cauchy不等式的推广做了较系统的综述.并说明了Cauchy不等式在初等数学和高等数学中的应用.关键词Cauchy不等式；Riemann积分;级数；Heimite阵TheExtensionsandApplicationsoftheCauchyInequalityAbstractCauchyinequality,acommoninequalityinmathematics,isoneofbasiccontentsinthetheoryofinequality.ThepaperhasinducedvariousmethodstoprovethebasicformofCauchyinequality.ItalsohasexpoundedandprovedothersformsofCauchyinequality.Inaddition,thepaperhassystematicallysummerizedsamewasystopopularizetheinequalityandhasexplainedtheapplicationofCauchyinequalityinbasicalmathematicsandadvancedmathematics.KeywordsCauchyinequality;Riemannintegral;Series;Heimitematrix21前言Cauchy不等式是数学中重要不等式,也是不等式理论中重要内容之一[1,2].Cauchy不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“留数”问题时得到的.但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步.近年来，Cauchy不等式一直受到广泛的关注，不少作者对Cauchy不等式进行了较深入的研究与推广.本文主要是综合归纳相关成果.文献[36]给出论述了Cauchy不等式的不同形式的证明，如实空间，2lR空间，Riemann积分，概率空间，内积空间，复数形式；不少作者还对Cauchy不等式进行了不同形式的推广，文献[8]将Cauchy不等式推广到指数与积分形式;文献[9]将Cauchy不等式推广到矩阵形式.除此之外，近年来，不少作者还对Cauchy不等式的应用还有深入的研究，极大丰富了Cauchy不等式的内容，文献[1012,16]拓广了Cauchy不等式的应用，本文主要总结了Cauchy不等式在初等数学和高等数学中的一些应用.在初等数学中的应用主要包括证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题；在高等数学中主要介绍了在数理统计方面的应用（如在最小二乘法，标志变异指标中的应用）和在概率论中的应用.3Cauchy不等式作为数学不等式中一个基础而且重要的不等式，对解题时起了举足轻重的作用.它将两数列中各项积的和与和的积巧妙的结合在一起，使许多问题得到了简化.对Cauchy不等式的研究为我们今后能够更好的学习数学有很大的意义.2Cauchy不等式的证明Cauchy不等式是一个很重要的不等式，其主要形式分为以下6种。本文对其不同形式都给予了证明，其中包涵了一些新的证法。2.1n维实空间nR中的Cauchy不等式n维实空间中的Cauchy不等式也是Cauchy不等式最基本的形式，它的形式如下：设,1,2,,iiabRin222111.nnniiiiiiiabab（1）（其中当且仅当ia与ib成比例时成立.）证法1设21()0,(),niiifxxabxR则22211120,nnniiiiiiixaxabb对于任意的xR成立.因此由其判别式222111440nnniiiiiiiabab4易得（1）成立.证法2（配方法）[4]：222111()nnniiiiiiiabab22221111111(2)2nnnnnniiiiiiiiiiiiiiabababab22221111111(2)2nnnnnnijiijjjiijijjiabababab