48曲线上一点处的切线

高二数学备课组曲线上一点处的切线问题1:曲线在P点处的走向如何刻画?ＰＰＰ直线ＰＰ直线Ｐ选定选定直线ＰＰＰ放大再放大放大再放大放大再放大问题2:我们知道在曲线某点处的曲线可以看做直线,那么我们怎么简单,方便的找到这条直线呢?PPPP探究:如图,Ｌ1,Ｌ2为经过曲线上一点P的两条直线.⑴试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线?⑵在点P附近你能作出一条比Ｌ1,Ｌ2更加逼近曲线的直线Ｌ3吗?⑶在点P附近你能作出一条比Ｌ1,Ｌ2,Ｌ3更加逼近曲线的直线Ｌ4吗?L2L1P动画Ｌ３Ｌ３Ｌ4L4Q1Q2Q3问题3:我们找到了这条切线,我们还得能求这条切线.怎么求呢?PQoxyy=f(x)割线切线T(1)概念:曲线的割线和切线结论:当Q点无限逼近P点时,此时直线PQ就是P点处的切线.直线PQ称为曲线的割线如何求曲线上一点的切线?(2)如何求割线的斜率?xxfxxfxxxxfxxfkPQ)()()()()(oxyy=f(x)PxQx+△xPQoxyy=f(x)割线切线T(3)如何求切线的斜率?xxfxxfkPQ)()(割线逼近切线的思想(当无限趋近于0时,无限趋近于点P处的切线的斜率)xPQk例１、已知,求曲线在处的切线的斜率.2)(xxf)(xfy2x解:设P(2,4),Q(2+△x,(2+△x)2),当△x无限趋近于0时,KPQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.xxxkPQ44)2(2则割线PQ的斜率找到定点P的坐标设出动点Q的坐标求出割线斜率当△x无限趋近于0时，割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率例１、已知,求曲线在处的切线的斜率.2)(xxf)(xfy2x15-130.14.1-0.13.90.014.01-0.013.990.0014.001-0.0013.9990.00014.0001-0.00013.99990.000014.00001-0.000013.99999xxx222)2(xxx222)2(求曲线上一点处切线斜率的一般步骤:)(xfy))(,(xfxP1.设曲线上另一点))(,(xxfxxQ2.求出割线的斜率，并化简。xxfxxfkPQ)()(PQ3.令无限趋近于0,若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率。x例１、已知,求曲线在处的切线的斜率.2)(xxf)(xfy2x练１：已知,求曲线在处的切线的斜率.2)(xxf)(xfy3x练２：已知,求曲线在处的切线的斜率.2)(xxf)(xfy0x例2、已知，求曲线在处的切线的斜率.2)(xxf)(xfyxx变1：在曲线上哪一点的切线斜率为4.2xy变2：在曲线上哪一点的切线平行于直线。2xy54xy变3：在曲线上哪一点的切线垂直于直线。2xy54xy例3.已知,求曲线在处的切线的斜率.xxf)()(xfy)0(xxx解:设,,),(xxP),(xxxxQxxxxxxxxxxxxxxkPQ1)(当△x无限趋近于0时,KPQ无限趋近于常数,x21则割线PQ的斜率从而曲线在点处的切线斜率为.Px21)(xfy小结1、曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。(局部以直代曲)●2、根据定义,利用割线逼近切线的方法,可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。割线PQP点处的切线Q无限逼近P时割线PQ的斜率P点处的切线斜率Q无限逼近P时令横坐标无限接近作业:课课练第2课时书本课后练习