3-6第六节 正弦定理和余弦定理(55张PPT)资料

第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形第六节►►正弦定理和余弦定理读教材·抓基础研考点·知规律拓思维·培能力高考这样考1.考查正弦定理、余弦定理的推导．2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形．3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查.备考这样做1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用．2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合.回扣教材扫除盲点D读教材·抓基础课本导读1．正弦定理asinA＝＝＝2R.其中2R为△ABC外接圆直径．变式：a＝，b＝，c＝.A：b：c＝.bsinBcsinC2RsinA2RsinB2RsinCsinA：sinB：sinC2．余弦定理a2＝；b2＝；c2＝.变式：cosA＝；cosB＝；cosC＝.sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab3．三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．疑点清源1．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．2．解三角形的类型在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：基础自评1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()A．52B．102C.1063D．56解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：asinA＝csinC.即1032＝c22.∴c＝1063.答案C2．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()A．30°B．45°C．60°D．75°解析由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A＜π，∴A＝60°.答案C3．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为()A．33B．23C．43D.3解析∵cosC＝13，0＜C＜π，∴sinC＝223.∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×223＝43.答案C4．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为__________．解析∵a2＋b2－c2＝－3ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－32，故C＝150°为三角形的最大内角．答案150°5．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝π3，则C的大小为________．解析由正弦定理可知sinB＝bsinAa＝3sinπ33＝12，所以B＝π6或5π6(舍去)，所以C＝π－A－B＝π－π3－π6＝π2.答案π2探究悟道点拨技法Y研考点·知规律题型一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝6＋2且A＝75°，则b＝()A．2B．4＋23C．4－23D.6－2(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°【思维启迪】(1)题目给出了一个等腰三角形，显然A＝C，因此B可求，这样求b可直接利用正弦定理．(2)若利用余弦定理cosA＝b2＋c2－a22bc求A，就应求出边之间的关系，显然可由sinC＝23sinB结合正弦定理得到b，c的关系．听课记录(1)sinA＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋sin45°cos30°＝2＋64.由a＝c＝6＋2可知，C＝A＝75°，所以B＝30°，则sinB＝12.由正弦定理得b＝asinA·sinB＝2＋62＋64×12＝2.(2)∵sinC＝23sinB，由正弦定理得c＝23b，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32.又A为三角形的内角，∴A＝30°.【答案】(1)A(2)A【规律方法】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．变式思考1(1)(2012·广东卷)在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC等于()A．43B．23C.3D.32(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝________.解析(1)在△ABC中，ACsinB＝BCsinA，∴AC＝BC·sinBsinA＝32×2232＝23.(2)设BC＝x，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC得5＝25＋x2－2·5·x·910，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5.答案(1)B(2)4或5题型二判断三角形形状【例2】在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【思维启迪】结合正弦定理把2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC化为边的关系，再由余弦定理求A.听课记录(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，∵0A180°，∴A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝34.又sinB＋sinC＝1，解得sinB＝sinC＝12.∵0°B60°，0°C60°，故B＝C＝30°，A＝120°.∴△ABC是等腰的钝角三角形．【规律方法】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．变式思考2已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝cos2A2，cos2A，且m·n＝72.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝23，试判断△ABC的形状．解(1)∵m＝(4，－1)，n＝cos2A2，cos2A，∴m·n＝4cos2A2－cos2A＝4·1＋cosA2－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cosA＋3.又∵m·n＝72，∴－2cos2A＋2cosA＋3＝72，解得cosA＝12.∵0Aπ，∴A＝π3.(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝3，∴(3)2＝b2＋c2－2bc·12＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝23，∴b＝23－c，代入①式整理得c2－23c＋3＝0，解得c＝3，∴b＝3，于是a＝b＝c＝3，即△ABC为等边三角形．题型三正、余弦定理的综合应用【例3】(2013·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sinBsinC的值．【思维启迪】(Ⅰ)根据三角形内角和定理和诱导公式把已知的cos2A－3cos(B＋C)＝1转化为关于A的三角函数的方程，再根据二倍角公式得出关于cosA的一元二次方程求出cosA即可求出角A；(Ⅱ)根据三角形的面积公式及余弦定理确定三角形的边长，根据正弦定理得出结果．听课记录(Ⅰ)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝12或cosA＝－2(舍去)．因为0Aπ，所以A＝π3.(Ⅱ)由S＝12bcsinA＝12bc·32＝34bc＝53，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝21.又由正弦定理得sinBsinC＝basinA·casinA＝bca2sin2A＝2021×34＝57.【规律方法】与三角形有关的三角函数类问题，注意方程思想的运用，根据三角形三内角的关系、正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等得方程(组)，通过解方程(组)解决问题．变式思考3(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若b＝2，求△ABC面积的最大值．解(Ⅰ)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB.①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.②由①②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝π4.(Ⅱ)△ABC的面积S＝12acsinB＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accosπ4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，S＝24ac≤2＋1，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.名师微博●一种思想正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题．●两个注意点1．应熟悉掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinC·cosA，可以进行化简或证明．●两种方法根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．拓展提伸提高能力T拓思维·培能力规范答题系列正、余弦定理在解三角形中的应用正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点．主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及测量、几何计算有关的实际问题．正、余弦定理的考查常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差倍角公式甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．【典例】(2013·山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(Ⅰ)求a，c的值；(Ⅱ)求sin(A－B)的值．【思维启迪】(Ⅰ)根据余弦定理得出关于a，c的一个方程，再结合a＋c＝6解之；(Ⅱ)根据正弦定理求出sinA，利用同角三角函数关系得出sinB，cosA，利用两角差的正弦公式求解．【解】(Ⅰ)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝79，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(Ⅱ)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝429，由正弦定理得sinA＝asinBb＝223.因为a＝c，所以A为锐角．所以cosA＝1－sin2A＝13.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10227.【心得体会】本题先用余弦定理求得a，c的值，再结合正弦定理求得sinA的值，最后运用两角差的正弦公式求出sin(A－B)值，体现了正、余弦定理与三角公式综合解三角形的高考命题趋势，这一点值得在复习时特别关注．自主体验1．(2013·辽宁卷)