3-7 正弦定理和余弦定理资料

抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）[最新考纲展示]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．第七节正弦定理和余弦定理抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）正弦定理和余弦定理抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）____________________[通关方略]____________________在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理时，会出现解的不确定性，一般可根据“大边对大角”来取舍．另外也可按照下面的方式来判断解的情况：抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＋c＝4，∠B＝30°，则c＝()A.135B.125C．3D.134抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）答案：A解析：在△ABC中，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c＋bc－b2ac，∵a＝3，b＋c＝4，∠B＝30°，∴3＋4c－b23c＝32，即3＋4(c－b)＝3c,3＋c＝4b，结合b＋c＝4解得c＝135，∴选A.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）答案：D2．(2014年太原模拟)△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A.5π6B.2π3C.π3D.π6解析：依题意及正弦定理得c＝23b，a2＝b2＋3bc＝7b2，cosA＝b2＋c2－a22bc＝6b243b2＝32.又0Aπ，因此A＝π6，选D.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）3．在△ABC中，若a＝4，b＝2，cosA＝－14，则c＝________，sinC＝________.解析：由余弦定理得b2＋c2－2bccosA＝a2，即c2＋c－12＝0，(c＋4)(c－3)＝0，得c＝3，cosC＝a2＋b2－c22ab＝1116，sinC＝1－cos2C＝1－11162＝31516.答案：331516抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）4．在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠B＝60°，则△ABC的面积为________．解析：∵在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠B＝60°，∴由正弦定理得ACsinB＝BCsinA，即3sin60°＝2sinA，∴sinA＝1，A＝90°，△ABC为直角三角形，∴在直角三角形ABC中，由勾股定理得AB＝1，∴S△ABC＝12AB·AC＝32.答案：32抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2013年高考天津卷)在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝()A.1010B.105C.31010D.55抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）(2)(2013年高考福建卷)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）[解析](1)由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以AC＝5.再由正弦定理得ACsinB＝BCsinA，所以sinA＝BC·sinBAC＝3×225＝31010.(2)因为sin∠BAC＝223，且AD⊥AC，所以sin(π2＋∠BAD)＝223，所以cos∠BAD＝223，在△BAD中，由余弦定理得，BD＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝322＋32－2×32×3×223＝3.[答案](1)C(2)3抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）反思总结利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）变式训练1．(2014年成都模拟)在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2asinB＋π4＝c.(1)求角A的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，求sinBsinC的取值范围．解析：(1)2asinB＋π4＝c，故a(sinB＋cosB)＝c.由正弦定理得sinA(sinB＋cosB)＝sinC＝sin(A＋B)．∴sinAsinB＋sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAsinB＝cosAsinB，又sinB≠0，∴sinA＝cosA.解得A＝π4.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）(2)sinBsinC＝sinBsin3π4－B＝22sinBcosB＋22sin2B＝24sin2B－24cos2B＋24＝12sin2B－π4＋24.∵0Bπ2，且03π4－Bπ2，∴π4Bπ2，即π42B－π43π4.∴sinBsinC的取值范围是22，2＋24.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）三角形形状的判断【例2】(2013年高考陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[解析]依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，∴A＝π2，故选B.[答案]B抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）解析：∵sin2A＋sin2Bsin2C，∴a24R2＋b24R2c24R2，∴a2＋b2c2，cosC＝a2＋b2－c22ab0，∴∠C为钝角．故△ABC为钝角三角形，选C.答案：C抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）反思总结依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）变式训练2．(2014年苏北四市联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若sinB·sinC＝sin2A，试判断△ABC的形状．解析：(1)由已知得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又∠A是△ABC的内角，∴A＝π3.(2)由正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.∴(b－c)2＝0，即b＝c.∴△ABC是等边三角形．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）三角形的面积问题【例3】(2013年高考湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sinBsinC的值．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）[解析](1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝12或cosA＝－2(舍去)．因为0Aπ，所以A＝π3.(2)由S＝12bcsinA＝12bc·32＝34bc＝53，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝21.又由正弦定理得sinBsinC＝basinA·casinA＝bca2sin2A＝2021×34＝57.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）反思总结三角形的面积求法最常用的是利用公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA去求．计算时注意整体运算及正、余弦定理的应用．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）变式训练3．(2014年昆明模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2C2＋ccos2A2＝32b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）解析：(1)证明：acos2C2＋ccos2A2＝a·1＋cosC2＋c·1＋cosA2＝32b，即a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝3b.由正弦定理得：sinA＋sinAcosC＋sinC＋cosAsinC＝3sinB，即sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB，∴sinA＋sinC＝2sinB.由正弦定理得，a＋c＝2b，所以a，b，c成等差数列．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）(2)由∠B＝60°，b＝4，及余弦定理得：42＝a2＋c2－2accos60°，∴(a＋c)2－3ac＝16，又由(1)知a＋c＝2b，代入上式得4b2－3ac＝16，解得ac＝16，∴△ABC的面积S＝12acsinB＝12acsin60°＝43.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）——解三角形正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式出现．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）【典例】(2013年高考四川卷)(本题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b