原子物理学,第三章量子力学初步教程

第三章量子力学初步内容：1、微观粒子的波粒二象性2、测不准原理3、波函数及其物理意义4、薛定谔波动方程5、量子力学问题的几个简例6、量子力学对氢原子的描述§3.1微观粒子的波粒二象性一、光的波粒二象性1672年，牛顿，光的微粒说1678年，惠更斯，光的波动说19世纪末，光是一种电磁波20世纪初，光量子hphE------光的波粒二象性,,EPv二、德布罗意关系式微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波动性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有一定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：EknhphEhp----德布罗意关系式。与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德布罗意波长。德布罗意关系式还可以写成式中，：角频率；：传播方向上的单位矢量2n适用条件：(1)电子，(2)非相对论(U不能太大)。220/1cmmm1eUm221)(225.12/2VUnmemUhmeUmhnk2sJh3410054588.12：波矢量mhph粒子的德布罗意波长：1．当时，2．当时，omm经过电场加速的电子：c~c三、德布罗意假设的实验验证1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。衍射，就是波绕过障碍物继续传播的现象。衍射是波特有的现象，不需要特殊条件，但是，如果要发生明显的衍射，则需障碍物或小孔的尺寸比波长小或跟波长差不多。干涉条纹是明暗间隔开的，且是等间距的。衍射条纹也是明暗相间但是不等间距，是中间亮然后周围越来越暗干涉，两列频率相同的光波在空中相遇时发生叠加，在某些区域总加强，在另外一些区域总减弱，出现明暗相间的条纹或者是彩色条纹的现象叫做光的干涉。只有两列光波的频率相同，位相差恒定，振动方向一致的相干光源，才能产生光的干涉。1．实验装置2．实验结果(1)当U不变时，I与的关系如图不同的，I不同；在有的上将出现极值。(2)当不变时，I与U的关系如图当U改变时，I亦变；而且随了U周期性的变化当时加强----布拉格公式。ndsin22)12(sin2nnd波程差：实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意公式的正确性。并进一步证明：一切实物粒子(电子、中子、质子等都具有波动性。)(225.1VUnm2,1n可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。对于通过电压U加速的电子：当U不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极大值。月球极区发现神秘反射光揭未知“禁区”奥秘据国外媒体报道，欧洲空间局的SMART-1探测器是一个对月球进行探索的飞船，在2006年时SMART-1探测器就成功撞击月球表面，撞击发生后科学家开始对月球表面扬起的尘埃进行探测，试图通过这些尘埃来揭开月球的起源之谜。但月球上仍然有许多地方被列为观测上的“禁区”，科学家将其称为未知的月球区域，特别是在月球的极区，我们对这里的情况了解甚少。根据SMART-1探测器的观测结果，科学家发现在月球极区存在三个非常紧密的撞击坑，内部存在一些神秘的反射光。图中显示的就是三个紧密排列的撞击坑，由欧洲空间局SMART-1探测器上的成像装置拍摄，这张拼图的大小为220公里乘以700公里，位于月球的北极附近，从右至左，这三个撞击坑被命名为Plaskett、Rozhdestvenskiy以及Hermite撞击坑。Hermite撞击坑直径大约104公里，Plaskett撞击坑大约为109公里，而Rozhdestvenskiy撞击坑直径最大，大约为177公里，这些地区被科学家称为神秘的月球区域，其明暗斑点使得这一地区保持着它的神秘感。由于月球被地球的引力锁定，因此我们只能看到月球的一面，而另一面无法直接观测到，因此也有了月球背面是外星人基地的说法。事实上月球并不是只有一半朝向地球，我们可以看到59%的月球表面，而Plaskett撞击坑的位置恰恰就位于月球朝向地球一面的边缘，因为我们在每年数个月的短短几天时间内可以看到Plaskett撞击坑的边缘，这个不寻常的一幕使得我们似乎看到来自月球撞击坑中的光线，因此欧洲空间局的SMART-1探测器任务之一就是对这些撞击坑进行调查，揭开月球上未知区域的奥秘。§3.2测不准原理2dxsinppxppxsinxd2sinxppx2hppxx22/hpxx一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出)sind电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为，经过狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：hpx方向上，粒子坐标的不确定度为又粒子动量的不确定度为2/hpxx狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子的坐标，又能避免动量发生变化。如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。0xxp/2xxph1927年，海森堡首先推导出不确定关系：2/xpx2/ypy2/zpz2/p2/tE二、不确定关系三、讨论1．不确定关系只适用于微观粒子2．例1：设电子与的子弹均沿x方向运动，，精确度为，求测定x坐标所能达到的最大准确度。kgm01.0smx/500%01.0smsmx/105/10500242/xpxxxmpx//电子：子弹：mmx3.2mx31101.22/tE0.00.51.01.52.0051015202530Intensity(arb.units)Time(ms)0.00.51.01.52.0051015202530Intensity(arb.units)Time(ms)§3.3波函数及其物理意义cos2coscosrvtrtono一、波函数自由粒子平面波用符号来表示波函数，自由粒子不受力，动量不变，所以同它联系的波长也不变，是单色波，代表平面单色波的公式为是角频，是波的速度，是时间，是从原点到波面任何一点的距离，是和的夹角，P86.由欧拉公式，上式可写为复数形式tnrnrrcos2rvtioecossiniei用矢量k代表波长倒数的数值和波的前进方向，上式可写为rkvtioe2量子力学中，一般用下列形式vtrkioe2用波方程来描写实物粒子，根据德布罗意关系：hEnhp――自由粒子的波函数，描写动量为、能量为E的自由粒子。p经典力学位置和速度量子力学波函数波函数体现了波粒二象性，其中的E和是描写粒子性的物理量，却处在一个描写波的函数中。pEtrPhioe2二、波函数的统计解释电子衍射的强度分布图用粒子的观点，极大值处意味着到达的电子多，极小值处意味着到达的电子少。从波的观点来看，极大值处表示波的强度大，极小值处表示波的强度小。玻恩的观点就能将粒子和波的概念统一起来。波函数代表发现粒子的几率干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，而且它并不是由微观粒子相互作用产生的而是个别微观粒子属性的集体贡献表示t时刻、（x、y、z）处、单位体积内发现粒子的几率。2),,,(tzyx即波的强度表示t时刻、（x、y、z）处发现电子的几率密度。如果大，则电子出现几率大，因而电子出现的数目也多，此处为衍射极大值处；反之，如果小，则电子出现几率小，电子出现的数目也少，此处为衍射极小值处。2),,,(tzyx2),,,(tzyx2),,,(tzyxt时刻、x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz、的体元内发现粒子的几率：dxdydzdVdVtzyxtzyxdW2),,,(),,,(*),,,(2tzyxW表示t时刻、（x、y、z）处发现粒子的几率密度。1.波恩的波函数几率解释是量子力学基本原理之一2.经典波振幅是可测量，而波函数是不可测量，可测是几率3.单缝、双缝干涉实验在1961年前是假想实验讨论2．归一化条件由于粒子总在空间某处出现，故在整个空间出现的总几率应当为1：1),,,(2dVtzyx三、波函数的标准条件及归一化1．波函数必须单值、有限、连续。单值：在任何一点，几率只能有一个值。有限：几率不能无限大。连续：几率一般不发生突变。对x、y、z分别求二次偏导：)()(zyxzpypxpEtiprEtipAeAeppEitppEtipxppixpxpxppxpix2222pyppiypypyppypiy2222pzppizpzpzppxpiz2222§3.4薛定谔波动方程一、薛定谔方程的建立1．自由粒子的薛定谔方程对t求一次偏导：――自由粒子的薛定谔方程。pzyxppppppzyx)(122222222222222222zyxppp22222122pEpppE22ppti222三者相加：拉普拉斯算符：自由粒子:),(22trUpE则有：――处在以势能表征的力场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程),(222trUti2．一般粒子的薛定谔方程222pEhv),tr（),tr（),(trUF一般粒子常受到力场的约束，用表示力场，则粒子在力场中受到的力为：，假设处于这种力场中的微观粒子的波函数为，假设仍满足方程：但此时,UrtEti),(22trUpEE为一常数)(222rUti)()(),(tfrtrErrUrdttdftfi)()](2[)(1)()(22)()()](2[22rErrU)(rU二、定态薛定谔方程能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能中不显含时间t，将其代入方程：波函数分离变量：)()(tEfdttdfiEdtitftdf)()(Etiertr)(),()(*)()(*)(),(*),(rrerertrtrEtiEtiEtiCetf)(解出：――定态波函数1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量2．定态中粒子的几率密度不随时间变化)()()](2[22rErrU3．定态薛定谔方程)()(zyxzpypxpEtiprEtipAeAennnc如果、是方程的解，那么它们的的线性组合也是方程的解，为任意常数。即如果、是体系可能的状态，那么它们的的线性组合也是体系一个可能的状态n2nnnnncccc2211ic12n14．态迭加原理),(trU3．具体的势场决定粒子状态变化的情况，如果给出势能函数的具体形式，只要我们知道了微观粒),(trU三、薛定谔方程的讨论ttr),(),(trU),(tr1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态在势场中随时间变化的规律。2．薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果相一致来得到证明。子初始时刻的状态。原则上说，只要通过薛定谔方程，就可以求出任意时刻的状态。),(tr),(00tr5．在薛定谔方程的建立中，应