零点比大小方法的进化--赋值法

1零点比大小方法的进化——赋值法湖南常德陈永清由𝑎𝑥+𝑏≤𝑓(𝑥)（常为凹函数）或𝑎𝑥+𝑏≥𝑓(𝑥)（常为凸函数）恒成立，求比值𝑏𝑎或线性表达式𝑚𝑎+𝑛𝑏等的最值或取值范围，这个问题，常为各地高三模拟压轴客观题.根据数形结合的思想，问题只与函数𝑦=𝑓(𝑥)（往往具有凹凸性）和𝑦=𝑎𝑥+𝑏的两个零点大小有关（或者说与它们和𝑥轴交点的横坐标的相对位置有关）；由图得出两个零点的大小关系，就可以解决问题.应该注意到在这样的题型中，𝑎,𝑏具有∃𝑎∈𝑅，𝑏∈𝑅的含义，即存在直线在曲线的下方，使得𝑎𝑥+𝑏≤𝑓(𝑥)（凹函数）恒成立（如图1）；或存在直线在曲线的上方，使得𝑎𝑥+𝑏≥𝑓(𝑥)（凸函数）恒成立（如图2）．显然等号成立时，处于相切状态.而当直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏与𝑥轴交点在曲线包围的区域中时，是不可能存在实数𝑎,𝑏满足恒成立要求的，如图1、2中虚线所示.但如果解题者的观察能力足够强，其实不用两边零点比大小，用赋值法就可以快速解决𝑓(𝑥)≤𝑎𝑥+𝑏或𝑓(𝑥)≥𝑎𝑥+𝑏中关于两个参数的比值或和差的最值问题．求比值𝑏𝑎的最值时，赋值的要点在于使不等式变成只含𝑎,𝑏的齐次式（显然不含常数项）.求线性表达式𝑚𝑎+𝑛𝑏(𝑚,𝑛为常数)的最值时，赋值的要点在于把原不等式变成关于𝑎,𝑏的二元一次不等式，然后根据𝑎,𝑏的系数比与𝑚:𝑛相等求出𝑥（简称等比例赋值法）.当𝑥=𝑥0时取得最值，此时意味着直线与曲线是相切关系，切点为(𝑥0,𝑓(𝑥0))，利用这个状态，可以求出取得最值时每个参数的值.对于求其他类型的最值，如求𝑎𝑏的最值，一般用导数法人手，或者利用滑动的切线（方程）求最值.当然，如果观察能力不是很强的话，运用两边零点比大小，还是可以比较快的解决问题.真是：出题一刻钟，解决六十秒；又可谓：一招石破天，惊煞命题人！理解了上述含义，我们就可以自己动手编出无数这样类似的题；这样的题从此由压轴降级为容易.一、求双参数比值或和差的最值问题（魔高一尺，道高一丈）例1.已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+(𝑒−𝑎)𝑥−2𝑏，若不等式𝑓(𝑥)≤0对𝑥∈(0,+∞)恒成立，则𝑏𝑎的最小值为_________.答案：−12𝑒.解析：（法1）𝑓′(𝑥)=1𝑥+(𝑒−𝑎)=1−(𝑎−𝑒)𝑥𝑥，显然𝑓(𝑥)不为单调函数，𝑥1为函数𝑓(𝑥)的零点，𝑥2为𝑦=𝑎𝑥+𝑏的零点.两边零点比大小模型图2𝑥1𝑥2𝑥1𝑥2图12易知𝑥=1𝑎−𝑒(𝑎𝑒)为𝑓(𝑥)的极大值点，所以只需𝑓.1𝑎−𝑒/=−ln(𝑎−𝑒)−1−2𝑏≤0，即2𝑏≥−ln(𝑎−𝑒)−1，所以𝑏𝑎≥−12∙,ln(𝑎−𝑒)+1-𝑎.令ℎ(𝑎)=−12∙,ln(𝑎−𝑒)+1-𝑎，则ℎ′(𝑎)=−12∙𝑒𝑎−𝑒−ln(𝑎−𝑒)𝑎2，注意到ℎ′(2𝑒)=0，易知𝑎=2𝑒为ℎ(𝑎)的极小值点，ℎ(2𝑒)=−12𝑒.所以𝑏𝑎≥−12𝑒.（法2）𝑓(𝑥)≤0⟺ln𝑥+𝑒𝑥≤𝑎𝑥+2𝑏，作出g(𝑥)=ln𝑥+𝑒𝑥的图象，曲线g(𝑥)与𝑥轴交于点(1𝑒,0)，又直线𝑦=𝑎𝑥+2𝑏与𝑥轴交于点(−2𝑏𝑎,0)，当直线𝑦=𝑎𝑥+2𝑏与曲线g(𝑥)相切于点(1𝑒,0)时，等号成立，要满足题意，则−2𝑏𝑎≤1𝑒（两边零点比大小），所以𝑏𝑎≥−12𝑒.（当𝑏𝑎≥−12𝑒等号成立时，𝑎=g′.1𝑒/=2𝑒，𝑏=−1.）（法3）赋值法，令𝑥=1𝑒，则−1+(𝑒−𝑎)∙1𝑒−2𝑏≤0⇒𝑏𝑎≥−12𝑒（注意𝑎𝑒），秒杀.说明：法1（导数法）可以作为解答题的解答，法2与法3都可以作为客观题解答，当然法3更快！例2已知不等式(𝑒−𝑎)𝑒𝑥+𝑥+𝑏+1≤0恒成立，其中𝑒为自然常数，则𝑏+1𝑎的最大值为_____.答案：1e.解析：令e𝑥=𝑡，则𝑥=ln𝑡.所以(𝑒−𝑎)𝑒𝑥+𝑥+𝑏+1≤0⟺ln𝑡+𝑒𝑡≤𝑎𝑡−(𝑏+1)，则1e≥𝑏+1𝑎（两边零点比大小）.说明：盯住目标函数构造零点，另外指对互换也是关键.秒解：赋值法，直接令𝑥=−1，可得𝑏+1𝑎≤1𝑒（注意𝑎𝑒）.例3已知不等式(𝑚+3)ln𝑥−𝑥+𝑛−1≤0对𝑥0恒成立，则𝑛−3𝑚+3的最大值为_______.答案：−ln2.解析：令ln𝑥=𝑡，则𝑥=𝑒𝑡.所以(𝑚+3)ln𝑥−𝑥+𝑛−1≤0⟺(𝑚+3)𝑡−𝑒𝑡+𝑛−1≤0⟺𝑒𝑡−2≥(𝑚+3)𝑡+(𝑛−3)，则−𝑛−3𝑚+3≥ln2（两边零点比大小），即𝑛−3𝑚+3≤−ln2.秒解：赋值法，直接令𝑥=2，可得𝑛−3𝑚+3≤−ln2（注意𝑚+30）.例4.已知𝑘0，且不等式𝑘𝑥−2𝑘+𝑏≥ln𝑥对任意的𝑥0恒成立，则𝑏𝑘的最小值为______.答案：1解析：赋值法，令𝑥=1，则𝑘𝑥−2𝑘+𝑏≥ln𝑥⇒𝑏−𝑘≥0⇒𝑏𝑘≥1.3例5.已知𝑎−2，若不等式ln(𝑥+1)−(𝑎+2)𝑥≤𝑏−2对任意的𝑥−1恒成立，则𝑏−3𝑎+2的最小值为____.答案：1−𝑒.解析：赋值法，令𝑥=𝑒−1，则ln(𝑥+1)−(𝑎+2)𝑥≤𝑏−2⇒−(𝑎+2)(𝑒−1)≤𝑏−3⇒𝑏−3𝑎+2≥1−𝑒.例6.已知ln.𝑥+1𝑎/≤2𝑎𝑥+𝑏对∀𝑥∈(−1𝑎，+∞）恒成立，则𝑏𝑎的最小值为_______.答案：−2𝑒2.解析：令𝑡=𝑥+1𝑎，则𝑡0，则题设等价于ln𝑡≤2𝑎.𝑡−1𝑎/+𝑏对∀𝑡∈(0，+∞）恒成立，又等价于ln𝑡+2≤2𝑎𝑡+𝑏(𝑡0)恒成立，则−𝑏2𝑎≤1𝑒2（两边零点比大小），所以𝑏𝑎≥−2𝑒2.【秒解】赋值法，令𝑡=1𝑒2，可得𝑏𝑎≥−2𝑒2.例7已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥𝑎−𝑏，对于𝑥∈𝐑都有𝑓(𝑥)≥0恒成立，则𝑎2𝑏的最小值为（）A.−1e2B.1e2C.−2e2D.2e2答案：A.解析：𝑓(𝑥)≥0⟺𝑒𝑥≥𝑥𝑎+𝑏.曲线𝑦=𝑒𝑥在点(𝑥0,𝑒𝑥0)处的切线方程为𝑦−𝑒𝑥0=𝑒𝑥0(𝑥−𝑥0)，即𝑦=𝑒𝑥0𝑥+𝑒𝑥0(1−𝑥0).令1𝑎=𝑒𝑥0，𝑏=𝑒𝑥0(1−𝑥0)，则𝑎2𝑏=1−𝑥0𝑒𝑥0.【取最值时，一定是相切状态】记g(𝑥)=1−𝑥𝑒𝑥，则g′(𝑥)=𝑥−2𝑒𝑥，易得g(𝑥)min=g(2)=−1𝑒2.故𝑎2𝑏的最小值为−1𝑒2.【说明】这个解答过程（导数法），可以当做在客观题中求积型的取值范围的模板.例8已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑏，g(𝑥)=𝑎𝑥+1−𝑎，其中𝑎,𝑏∈𝑅，若𝑓(𝑥)≤g(𝑥)恒成立，则（1）当𝑏𝑎取最小值时，𝑎−𝑏=_____.（2）当𝑎+𝑏取得最小值时，𝑏𝑎=_______.答案：（1）1；（2）解析：（1）𝑓(𝑥)≤g(𝑥)⟺ln𝑥−1≤𝑎𝑥−𝑎+𝑏，则e≥𝑎−𝑏𝑎（两边零点比大小），即𝑏𝑎≥1−𝑒.【秒解：赋值法，直接令𝑥=𝑒，可得𝑏𝑎≥1−𝑒.】当𝑏𝑎=1−𝑒时，直线𝑦=𝑎𝑥−𝑎+𝑏与曲线𝑦=ln𝑥−1相切于点(e,0)，此时切线方程为𝑦=1𝑒(𝑥−𝑒)=1𝑒𝑥−1，所以−𝑎+𝑏=−1，即𝑎−𝑏=1.（2）𝑓(𝑥)≤g(𝑥)⟺ln𝑥−1≤𝑎𝑥−𝑎+𝑏，令𝑥=2，得𝑎+𝑏≥ln2−1（赋值法）.4当𝑎+𝑏=ln2−1时，直线𝑦=𝑎𝑥−𝑎+𝑏与曲线𝑦=ln𝑥−1相切于点(2,ln2−1)，此时切线方程为𝑦=12(𝑥−ln2+1)=12𝑥+1−ln22，所以𝑎=12,𝑏−𝑎=1−ln22，所以𝑏=2−ln22，故𝑏𝑎=2−ln2.二、明知山有虎，偏向虎山行两边零点比大小模型，有时候也能解决只有一个参数的最值或取值范围问题.1.两边零点比大小模型，如果在定义域内𝑓(𝑥)没有零点，此时可以考虑凑出零点，或通过换元法凸显零点（指对互化出零点）．如，𝑎e𝑥−ln𝑥≥𝑏⇒𝑎e𝑥ln𝑥+𝑏⇒ln𝑎+𝑥≥ln(ln𝑥+𝑏)⇒−ln𝑎≤e1−𝑚𝑏.2.两边零点比大小模型，如果在定义域人为限制的情况下，导致𝑓(𝑥)没有零点，此时可以考虑凑出零点，常凑成以定义域端点为零点（即对不等式进行等价变形）．例9.已知𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+1−𝑎𝑚，g(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−𝑥．若存在实数𝑎，使得𝑓(𝑥)≤g(𝑥)对𝑥∈𝑅恒成立，则实数𝑚的取值范围是________.答案：,−1e,+∞).解析：𝑓(𝑥)≤g(𝑥)⟺𝑒𝑥+1+𝑥≤𝑎(𝑚+𝑒𝑥)，令𝑒𝑥=𝑡，则𝑥=ln𝑡，所以问题又等价于𝑒𝑡+ln𝑡≤𝑎(𝑡+𝑚)对𝑡0恒成立，直线𝑦=𝑎(𝑡+𝑚)交𝑥轴于点(−𝑚,0)，曲线𝑦=𝑒𝑡+ln𝑡交𝑥轴于点(1e,0)，要满足题设，则−𝑚≤1𝑒（两边零点比大小），即𝑚≥−1𝑒.例10.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−ln𝑥−1.若𝑓(𝑥)≥0恒成立，求实数𝑎的取值范围.答案：,1e,+∞).解析：𝑎𝑒𝑥−ln𝑥−1≥0⟺𝑎𝑒𝑥≥ln𝑥+1(𝑥0)⟺ln𝑎+𝑥≥ln(ln𝑥+1)(𝑥1𝑒)，则只需−ln𝑎≤1（两边零点比大小），可得𝑎≥1𝑒.例11.对∀𝑥0，不等式2𝑎𝑒2𝑥−ln𝑥+ln𝑎≥0恒成立，则实数𝑎的最小值为（）A.2√𝑒B.12√𝑒C.2𝑒D.12𝑒答案：D.解析：（法1）2𝑎𝑒2𝑥−ln𝑥+ln𝑎≥0⟺2𝑎𝑒2𝑥≥ln𝑥𝑎(𝑥0)⟺ln(2𝑎)+2𝑥≥ln.ln𝑥𝑎/(𝑥𝑎)，则只需−12ln(2𝑎)≤𝑎𝑒（两边零点比大小），即ln(2𝑎)+2𝑒𝑎≥0，由于𝑓(𝑎)=ln(2𝑎)+2𝑒𝑎为增函数，且𝑓.12𝑒/=0，所以𝑎≥12𝑒.5（法2）2𝑎𝑒2𝑥−ln𝑥+ln𝑎=𝑒2𝑥+ln2𝑎−ln𝑥+ln𝑎≥(2𝑥+ln2𝑎+1)−ln𝑥+ln𝑎=2𝑥−ln𝑥+ln2𝑎+1+ln𝑎≥(ln2𝑥+1)−ln𝑥+ln2𝑎+1+ln𝑎=2+2ln2𝑎≥0⇒𝑎≥12𝑒.例12.设𝜆0，若∀𝑥∈(0,+∞)，不等式𝜆𝑒𝜆𝑥−ln𝑥≥0恒成立，则𝜆的最小值为______.答案：1𝑒.解析：由于𝑥∈(0,1-时，不等式𝜆𝑒𝜆𝑥−ln𝑥≥0恒成立，所以只需∀𝑥∈(1,+∞)，不等式𝜆𝑒𝜆𝑥≥ln𝑥恒成立，即ln𝜆+𝜆𝑥≥ln(ln𝑥)，所以−ln𝜆𝜆≤𝑒（两边零点比大小），即ln𝜆+𝑒𝜆≥0，由于𝑓(𝜆)=𝑒𝜆+ln𝜆为增函数，且𝑓.1𝑒/=0，所以𝜆≥1𝑒.例13.∀𝑥0，不等式𝑎𝑥log𝑎𝑥(𝑎0，且𝑎≠1)恒成立，则𝑎的取值范围是___________.答案：(e1e，+∞).解析：显然𝑎1，则可令𝑎=e𝑚(𝑚0)，则𝑎𝑥log𝑎𝑥⟺e𝑚𝑥1𝑚ln𝑥⟺𝑚𝑒𝑚𝑥ln𝑥⟺ln𝑚+𝑚𝑥ln(ln𝑥)(𝑥1)，则−ln𝑚𝑚𝑒（两边零点比大小），即ln𝑚+𝑒