212.3 变量间的相关关系

2.3.1变量之间的相关关系西方流传一首民谣：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。马蹄铁上的一个钉子是否丢失与一个帝国存与亡关系有多大呢？关联性：指当一个变量变化时，伴随另一个变量有一定的变化.不确定性：指当一个变量取定值时，与之相关的变量的取值仍具有随机性．确定性：指当一个变量取定值时，与之相关的变量的取值随之确定.变量之间的联系有：1.商业广告费X与销售收入Y之间2.施肥量X与粮食产量Y之间3.年龄X与人体脂肪含量Y之间问题1：下面哪些题中的两个变量之间的关系是确定的？哪些题中的两个变量之间的关系是不确定的？在两个不确定的变量之间关联性是什么？4.高原海拔高度X与含氧量Y的之间5.正方形的边长X与面积Y之间1、两个变量之间的相关关系两个变量间存在着某种关系，带有不确定性(随机性)，不能用函数关系精确地表达出来，我们说这两个变量具有相关关系.相关关系—当自变量取值一定,因变量的取值带有一定的随机性(非确定性关系)函数关系---函数关系指的是自变量和因变量之间的关系是相互唯一确定的.注：相关关系和函数关系的异同点相同点：两者均是指两个变量间的关系不同点：函数关系是一种确定关系，相关关系是一种非确定的关系。对相关关系的理解2.下列关系中,是带有随机性相关关系的是.①正方形的边长与面积的关系;②水稻产量与施肥量之间的关系;③人的身高与年龄之间的关系;④蛋鸭产蛋个数与饲养天数即学即用1.下列变量之间是函数关系的是()A.当速度一定时，路程和时间B.光照时间和果树亩产量C.降雪量和交通事故发生率D.每亩施用肥料量和粮食亩产量2.3.4A2.3.2两个变量的线性相关年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6探究：人体内脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？x02025303545505560年龄510152025303540y脂肪含量4065下面我们以年龄为横轴,脂肪含量为纵轴建立直角坐标系,作出各个点。年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.25354565758606129.630.231.430.833.535.234.6称该图为散点图02025303545505560x年龄510152025303540y脂肪含量4065下面我们以年龄为横轴,脂肪含量为纵轴建立直角坐标系,作出各个点,称该图为散点图。年龄越大,体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关但有的两个变量的相关，如下图所示：如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区域内，称它们成负相关.1、下列变量之间是相关关系的是（）A、房屋面积与房屋价格B、身高与体重C、铁的大小与质量D、人的寿命和生辰属相B练习：2、下列关系属于负相关关系的（）A.父母的身高与子女的身高B.农作物产量与施肥的关系C.吸烟与健康的关系D.数学成绩与物理成绩的关系C3、下列图形中两个变量具有相关关系的是（）yox(A)yox(B)yox(C)yox(D)C4.(09.宁夏海南理)对变量x,y观测数据(xi,yi)(i=1,2,...,10),得散点图1；对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,...,10),得散点图2，由这两个散点图可判断（）yxovou图1图2A、变量x与y正相关，u与v正相关；B、变量x与y正相关，u与v负相关；C、变量x与y负相关，u与v正相关；D、变量x与y负相关，u与v负相关；C5.（2010.广东文）某市居民2005-2009年家庭平均收入x（单位：万元)与年平均支出y（单位：万元）的统计资料如下表：年份20052006200720082009收入x11.512.11313.315支出y6.88.89.81012家庭年平均收入与年平均支出有线性相关关系？正思考：当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？年龄这些点大致分布在一条直线附近,像这样如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线,这条直线的方程叫做回归方程02025303545505560x510152025303540y脂肪含量406502025303545505560x年龄510152025303540y脂肪含量4065人们经过长期的实践与研究,已经找到了计算回归方程的较为科学的方法:02025303545505560x年龄510152025303540y脂肪含量4065,iixy,iixbxa()iiiiiqybxaybxaAB人们经过长期的实践与研究,已经找到了计算回归方程的较为科学的方法:距离之和：121122nnnqqqqybxaybxaybxa越小越好点到直线距离的平方和：2221122()nnQybxaybxaybxa取最小值xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)())((1221121人们经过长期的实践与研究,已经找到了计算回归方程的较为科学的方法:以上公式的推导较复杂，故不作推导，这一方法叫最小二乘法。回归方程为ybxa例题：假设关于某种设备的使用年限x和支出的维修费用y(万元)有以下的统计资料使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0(1)画出散点图；(1)求支出的维修费用y与使用年限x的回归方程.(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？参考数值：22.233.845.556.567.0112.31.230.08yx约为12.3801234567801234567系列1年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2思考：当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6i1234567xi23273941454950yi9.517.821.225.927.526.328.2xiyi218.5480.6826.81061.91237.51288.71410i891011121314xi53545657586061yi29.630.231.430.833.535.234.6xiyi1568.81630.81758.41755.6194321122110.6解：1、设回归方程2、列表ybxa3、计算48.071,27.264xy141421134181,19403.3iiiiixxy4489.0071.48577.0264.275765.032351.495-3418118348.508-3.19403141414122141xbyaxxyxyxbiiiii4、代入公式求的值,ba5、写出回归直线的回归方程0.57650.4489yx求回归直线方程的步骤：2、列表4、代入公式求的值,ba5、写出回归直线的回归方程3、计算211,,,nniiiiixyxxy1、设回归方程例1、有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度-504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654020406080100120140160180-10-50510152025303540热饮杯数热饮杯数摄氏温度-504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654xy1、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；2、求回归方程；（已知：）3、如果某天的气温是2摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。15.364,111.636xy11112114335,14778iiiiixxy解：1、各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。2、回归方程为：2.352147.767yx3、当x=2时，因此，某天的气温为2摄氏度时，这天大约可以卖出143杯热饮。143.063y练习：实验测得四组（x,y）的值如下表所示：x1234y2345则y与x之间的回归直线方程为（）（参考数值：）.1Ayx.2Byx.21Cyx.1Dyx442112.5,3.5,30,40iiiiixyxxyA总结提升变量间关系函数关系相关关系散点图线性相关线性回归方程练习：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解(1)如下图所示：(2)由对照数据计算得，x＝3＋4＋5＋64＝4.5，y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i＝1xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，∑4i＝1x2i＝32＋42＋52＋62＝86，所以由最小二乘法确定的系数为∴b^＝∑4i＝1xiyi－4x·y∑4i＝1x2i－4x2＝66.5－4×3.5×4.586－4×4.52＝0.7，a^＝y－b^x＝3.5－0.7×4.5＝0.35.∴线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为y^＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴耗能降低了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．作业：5个学生的数学和物理成绩如下表：ABCDE数学x8075706560物理y70666864621.画出散点图，并判断它们是否有相关关系？2.求出y对x的回归直线方程,估计某同学数学90分时，物理成绩是多少分？物理成绩50556065707580405060708090数学成绩解：由散点图可见，两者之间具有正相关关系。y=0.36x+40.8,73.2分