函数的定义域和值域

第二章函数、导数及其应用第二节函数的定义域和值域抓基础明考向提能力教你一招我来演练返回[备考方向要明了]考什么会求一些简单函数的定义域和值域.返回怎么考1.本节是函数部分的基础，以考查函数的定义域、值域为主，求函数定义域是高考的热点，而求函数值域是高考的难点．2.本部分在高考试题中的题型以选择、填空题为主，属于中、低档题目.返回返回一、常见基本初等函数的定义域1．分式函数中分母．2．偶次根式函数被开方式.3．一次函数、二次函数的定义域均为.4．y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为.不等于零大于或等于0RR返回5．y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为．6．y＝tanx的定义域为．7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．(0，＋∞){x|x≠kπ＋π2，k∈Z}更多课件海亮学校返回二、函数的值域1．在函数概念的三要素中，值域是由和所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．定义域对应关系2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a0时，值域为；当a＜0时，值域为．R{y|y≥4ac－b24a}{y|y≥4ac－b24a}返回(3)y＝kx(k≠0)的值域是．(4)y＝ax(a0且a≠1)的值域为．(5)y＝logax(a0且a≠1)的值域是.(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是．(7)y＝tanx的值域是.{y|y≠0}{y|y0}R[－1,1]R返回返回答案：A1．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()A．{－1,0,3}B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}返回2．(2011·广东高考)函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是()A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)返回答案：C解析：由1－x≠0，1＋x＞0得x＞－1且x≠1，即函数f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．返回答案：D3．函数y＝1x2＋2的值域为()A．RB．{y|y≥12}C．{y|y≤12}D．{y|0y≤12}解析：∵x2＋2≥2，∴01x2＋2≤12.∴0y≤12.返回4．(教材习题改编)函数f(x)＝x－4|x|－5的定义域为________．解析：由x－4≥0，|x|－5≠0∴x≥4且x≠5.答案：{x|x≥4且x≠5}返回解析：∵x有意义，∴x≥0.∴y＝x2＋3x－5＝x＋322－94－5∴当x＝0时，ymin＝－5.答案：[－5，＋∞)5．(教材习题改编)若x有意义，则函数y＝x2＋3x－5的值域是________．返回返回函数的最值与值域的关系函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．返回返回[精析考题][例1](2011·江西高考)若f(x)＝112log2x＋1，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，＋∞C.－12，0∪(0，＋∞)D.－12，2返回[答案]C[自主解答]由已知得2x＋10，12log2x＋1≠0，∴x－12，2x＋1≠1.即x－12且x≠0.返回若本例中的函数变为f(x)＝2x－112log2x＋1，试求f(x)的定义域．解：由已知得2x－1≥0，2x＋1＞0，12log2x＋1≠0，∴x≥12，x－12，2x＋1≠1.∴x≥12.∴f(x)的定义域为12，＋∞.返回[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2011·台州一模)函数f(x)＝x22－x－lg(x－1)的定义域是()A．(0,2)B．(1,2)C．(2，＋∞)D．(－∞，1)返回答案：B解析：函数有意义需满足2－x0，x－10，即1x2，所以，函数的定义域为(1,2)．返回2．(2012·烟台调研)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．解析：当f(x)0时，函数g(x)＝log2f(x)有意义，由函数f(x)的图象，知x∈(2,8]．答案：(2,8]返回3．(2012·青田质检)若函数y＝f(x)的定义域为[－3,5]，则函数g(x)＝f(x＋1)＋f(x－2)的定义域是()A．[－2,3]B．[－1,3]C．[－1,4]D．[－3,5]返回答案：C解析：由题意可得：－3≤x＋1≤5，－3≤x－2≤5.解不等式组可得：－1≤x≤4.所以函数g(x)的定义域为[－1,4]．返回[冲关锦囊]求具体函数y＝f(x)的定义域函数给出的方式确定定义域的方法列表法表中实数x的集合图象法图象在x轴上的投影所覆盖实数x的集合解析法使解析式有意义的实数x的集合实际问题由实际意义及使相应解析式有意义的x的集合返回[精析考题][例2]求下列函数的值域，并指出函数有无最值．(1)y＝1－x21＋x2；(2)y＝x＋4x(x0)；(3)f(x)＝x－1－2x.返回[自主解答](1)y＝1－x21＋x2＝21＋x2－1，∵1＋x2≥1，∴021＋x2≤2.∴－121＋x2－1≤1.即y∈(－1,1]．∴函数的值域为(－1,1]．返回(2)∵x0，∴x＋4x＝－－x－4x≤－4，当且仅当x＝－2时“＝”成立．∴y∈(－∞，－4]．∴函数的值域为(－∞，－4]．返回(3)法一：(换元法)令1－2x＝t，则t≥0且x＝1－t22，于是y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域是－∞，12.法二：(单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤12，所以y≤f12＝12，即函数的值域是－∞，12.返回[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)4．(2012·青岛模拟)函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)解析：由题意得0≤16－4x＜16,0≤16－4x＜16＝4，即函数y＝16－4x的值域为[0,4)．答案：C返回5．(2012·杭州模拟)若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是()A．[－5，－1]B．[－2,0]C．[－6，－2]D．[1,3]返回解析：∵1≤f(x)≤3，∴1≤f(x＋3)≤3，－6≤－2f(x＋3)≤－2，－5≤1－2f(x＋3)≤－1.∴－5≤F(x)≤－1，即函数F(x)的值域是[－5，－1]．答案：A返回6．(2012·宁波模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当ab时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________．返回解析：由题意知f(x)＝x－2，x∈[－2，1]，x3－2，x∈1，2]，当x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4；－1]；当x∈(1,2]时，f(x)∈(－1,6]，∴当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－4,6]．答案：[－4,6]返回[冲关锦囊]函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的．常用的求解方法有(1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件；(2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；返回(3)图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出；(4)换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围；(5)单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；(6)导数法.返回[精析考题][例3](2011·湖南高考)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为()A．[2－2，2＋2]B．(2－2，2＋2)C．[1,3]D．(1,3)返回[答案]B[自主解答]f(a)的值域为(－1，＋∞)，由－b2＋4b－3－1解得2－2b2＋2.返回[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)7．(2012·嘉兴模拟)已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．返回答案：5解析：由0≤4|x|＋2－1≤1，即1≤4|x|＋2≤2得0≤|x|≤2，满足整数数对的有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．返回8．(2012·合肥模拟)若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.答案：[－1,0]返回[冲关锦囊]求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．返回返回易错矫正乱用等价性致误返回[考题范例](2012·温州模拟)函数f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4的定义域为R，值域为(－∞，0]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，－2)C．{－2}D．[－2,2]返回[失误展板]错解：函数f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4的值域为(－∞，0]，即f(x)≤0恒成立．∴a2，Δ≤0，解之，得－2≤a2，故选D.错因：错解中误认为值域为(－∞，0]等价于f(x)≤0恒成立，其实不然，若f(x)的值域为(－∞，0]，则函数f(x)的最大值为0，而f(x)≤0恒成立，则不一定有函数f(x)的最大值为0.返回[正确解答]由函数f(x)的值域为(－∞，0]可知，函数f(x)的最大值为0，可求得a＝－2.答案:C返回点击此图进入