函数的导数是怎么算出来的[2]

函数的导数是怎么算出来的？一、微分的几何意义设函数在点处可导，如图一所示，直线MT为曲线在点M处的切线，)(xfyx)(xfydxxfdxdxdydxdxPQ)(tantandxMQyNQ(微分)(增量)图一微分的几何意义所以而PQ为曲线PQdy若曲线的弧长为)(xfy在M点处的切线MT上的纵坐标的增量。当自变量很小时，就可以用切线段上的增量来近似代替曲线段上的增量。sMN则有)0(,)(1)()(||222dxdxdydxdydxMP上式称为弧的微分公式，由图可知：22)()(dydxds当曲线上的N点无限地（想象力比知识重要！）接近M点时，即时，曲线的弧长为0xsMN转化为直线（切线MP）。此时，dss根据导数与微分的关系、导数与积分的关系，由基本初等函数的求导公式和积分公式，可以直接推出其微分和积分公式。(增量等于微分)函数的导数我们是这样定义的：设函数在点x0处及其近旁有定义，当自变量x在x0处有增量时，相应地函数y有增量。)(xfyx)()(xfxxfy如果的极限存在，这个极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数（或称为变化率），记为：xxfxxfx)()(lim0如果极限不存在，就说函数y=f(x)在点x0处不可导。xyx0limxyx0lim0xxyxyx0lim根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的三个步骤：2.算比值：xxfxxfxy)()(1.求增量：3.取极限：xxfxxfxyyxx)()(limlim00例1求函数(c是常数)的导数。解：（1）求增量：0)()(ccxfxxfy0xy（2）算比值：（3）取极限：这就是说，常数的导数等于零cy)()(xfxxfy求导举例：0lim0xyyx二、函数的导数怎样计算呢？例2求函数的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取极限:同理可得:2xy()()yfxxfx222()2()xxxxxxxxxy2xxxxyyxx2)2(limlim00为正整数）nnxxnn()(1例2求正弦函数的导数xysin解：因为2sin)2cos(2sin)sin(xxxxxxy22sin)2cos(xxxxxy所以xyyx0lim22sin)2cos(lim0xxxxxxcos即(sinx)´=cosx同理可得：(cosx)´=-sinx采用类似的方法可以求得其他函数的导数.如下表)2cos2sin2sin(sin导数公式微分公式cos)(sin积分公式1)(nnnxxdxnxxdnn1)(Cxndxxnn111ddcos)(sinCdcossinsin)(cosddsin)(cosCdsincos22cos1sec)(tan22cossec)(tandddCdseclntan22sin1csc)(cot22sin1csc)(cotdCdsinlncotxx1)(lndxxxd1)(lnCxdxxln1xxee)(dxeedxx)(Cedxexx（一）、定积分问题举例1、求曲边梯形的面积xy=f(x)y0ab定积分是怎么计算出来的思想方法在区间[a,b]中任取若干分点：bxxxxxxxannii11210把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间：),,3,2,1(1nixxxiii],[1iixx过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为iAxy0y=f(x)0xa1x3x1ixix1nxbxn2x（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条小区间长度记为：（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形iiiiiiiiiiixfAfxfxxxxi)()(,).(),],[11曲边梯形的面积，即面积来近似代替这个小的小矩形长为用相应的宽为它所对应的函数值是（上任取一点个小曲边梯形的底在第xy0y=f(x)0xa1x2x1ixix1nxbxnξｉf(ξ)ｉ（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。把n个小矩形的面积相加得和式iniixf)(1它就是曲边梯形面积A的近似值，即.)(1iniixfAxy0y=f(x)0xa1x2x1ixix1nxbxnξｉf(ξ)ｉ（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。iniixf)(1分割越细，就越接近于曲边梯形的面积A，当可见，曲边梯形的面积是一和式的极限xy0y=f(x)0xa1x2x1ixix1nxbxnξｉf(ξ)ｉ小区间长度最大值趋近于零，即0（表示iniixf)(1这些小区间的长度最大者）时，和式的极限就是A，即iniixfA)(lim10取极限],[1iiixxniiixfS1)(1iiixxx},,,max{21nxxxIxfniii10)(lim二、定积分的定义定义设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点：分划任取bxxxxxann1210作和式近似求和记存在，且极限值I不依赖于的选取，也不依赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)，记作,即其中：f(x)叫做被积函数;f(x)dx叫做被积表达式;x叫做积分变量;a叫做积分下限，b叫做积分上限;[a,b]叫做积分区间。ibadxxf)(iniibaxfdxxfI10)(lim)(如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b]上不可积。注：定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。即bababaduufdttfdxxf)()()(设在区间上连续，是它的任意一个原函数，fx,abFx则有bafxdxFbFa牛顿—莱布尼兹公式()baFx记作（三）、定积分的计算211dxx例1求xx1ln解：因为的一个原函数，是xx1ln所以211dxx2ln1ln2ln12lnx故有=例2计算曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形的面积.解面积0sinxdxA0cosx.2其他函数的积分运算都可以用类似的方法算出来