1.2导数的计算

一、复习1.导数的几何意义导数的物理意义2.求函数的导数的方法是:(1)()();yfxxfx求函数的增量(2):()();yfxxfxxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx求极限，得导函数说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.在不致发生混淆时，导函数也简称导数．函数导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:'00()6fxx'()6fxx2()3fxxf(x)在x=x0处的导数f(x)的导函数x=x0时的函数值关系几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.1.函数y=f(x)=c(c为常数)xxfy)(.22)(.3xxfy3)(.4xxfyxxfy1)(.5xxfy)(.61.函数y=f(x)=c的导数y=cyxO，因0xccxxfxxfxy.00limlim'00xxxyy所以y=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0.若y=c表示路程关于时间的函数,则y=0则为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.从几何的角度理解：从物理的角度理解：2.函数y=f(x)=x的导数，因为1xxxxxxfxxfxy.11limlim'00xxxyy所以y=xyxOy=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1.若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.从几何的角度理解：从物理的角度理解：探究在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?21-1-2-2-112xyy=xy=2xy=3xy=4x函数y=f(x)=kx的导数xxfxxfxy因为.limlim'00kkxyyxx所以，kxkxxkkxxkxxxk3.函数y=f(x)=x2的导数xxxxxxfxxfxy22因为xxxxxx2222xx2.22limlim'00xxxxyyxx所以y=x2yxOy=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x表明:当x0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢;当x0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.从几何的角度理解：从物理的角度理解：4.函数y=f(x)=的导数x1xxxxxxfxxfxy11因为，xxxxxxxxxx21.11limlim'2200xxxxxyyxx所以探究画出函数的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.xy121-1-2-2-112xy5.函数y=f(x)=的导数xxxxxxxfxxfxy因为xxxxxxxxxx，xxx1.211limlim'00xxxxxyyxx所以小结1.若f(x)=c（c为常数）,则f(x)=0；2.若f(x)=x,则f(x)=1；3.若f(x)=x2,则f(x)=2x；；则若21',1.4xxfxxf.21',.5xxfxxf则若)(1是常数xx这个公式称为幂函数的导数公式.事实上可以是任意实数.)()(Qxxfy1/xy推广:基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa'n'n-1''x'xx'x'a'若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=e，则f(x)=e1若f(x)=logx，则f(x)=xlna1若f(x)=lnx，则f(x)=x练习：1求下列幂函数的导数35325)4()3(1)2(1xyxyxyxy）（).2(,2)2(3fxy求已知).1(,)1(2fxxy求已知2:导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx如果上式中f(x)=c,则公式变为：)()()()(])()([xgxfxgxfxgxf//()()cgxcgx例.求函数y=x3-2x2+3的导数./234yxx1.已知曲线C：f(x)=x3求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程/2()3,fxx/(1)3,kf13(1),320.yxxy2.求过点（2,0）与曲线相切的切线方程xy1看几个例子:2log2.yx例3.已知x，求曲线在点处的切线方程12(2)22ln2yxcos5.6yxx例4.已知，求曲线在点处的切线方程315()226yxπ41(1).;(2)..yxyxx例5：求下列函数的导数'54yx1'232yx练习:求下列函数的导数:2212(1);(2);1(3)tan;yxxxyxyx答案:;41)1(32xxy;)1(1)2(222xxy///22sinsincossincos1(3)();coscoscosxxxxyxxx思考:如何求函数的导数?sin2yx复合函数.()()[()].yfuuxyfxu由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数与复合而成的函数的一般形式是，其中称为中间变量目前我们所研究的简单复合函数的导数仅限于形如f(ax＋b)的复合函数．问题探究考察函数的导数.xy2sinsin22sincosyxxx一方面：xxxxxxxxxx2cos2sin2cos2)(cossin2cos)(sin2)cossin2()2(sin22xy问题探究xuxuyy'''另一方面：复合函数，并分别求对应变量的导数如下：两个导数相乘，得从而有x2cos2xy2sinuysin看作是函数和函数xu2uuyucos)(sin2)2(xux将函数2)(cosuuyxu分解求导相乘回代说明：对于一般的复合函数，结论也成立.即，，则，一般地，若函数xuxuyybaxuufy''')(建构数学).()())(('''))(()()()()(xufxfuyyxxfyufyuxufyxuxxuxxuxux，或处也有导数，且在点，则复合函数处有导数的对应点在点，函数处有导数在点一般地，设函数推广：一般复合函数的求导法则建构数学复合函数求导的基本步骤是：（1）分解．（2）求导．（3）相乘．（4）回代．建构数学试说明下列函数是怎样复合而成的:3(1)(23)(2)ln(51)1(3)(4)cos(12).31yxyxyyxx；　；；　　数学运用).21cos()4(131)3()15ln()2()32()1(3xyxyxyxy；；；例1求下列函数的导数：数学运用点评求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．.222的导数　求函数例axxaxy点评本题练习商的导数和复合函数的导数,求导数后要予以化简整理．数学运用.cossin344的导数　求函数例xxy点评可先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确；也可利用复合函数求导数，应注意不漏步．数学运用⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代回顾小结四、小结:知识点:基本初等函数的导数公式、导数的运算法则能力要求：（1）熟记这些公式、法则；（2）会求简单函数的导数；（3）会求曲线在某点处的切线方程。