相似三角形习题课

相似三角形习题课一、基本图形几何图形大都是由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速准确地识别相似三角形，从而顺利地找到解题的思路和方法。（一）平行型ABCDE如图，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.A型X型ABCED例1如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G,交BC于点F，则图中相似三角形（不含全等三角形）共有对。AGFECBD5（二）斜交型如图，若，则△AED∽△ABC.EDCBA∠AED=∠B∠ADE=∠CABAEACADEDCBA例2如图，D、E分别为△ABC的边AC、AB上的点，BD、CE相交于点O，且∠ABD=∠ACE，试问△ADE与△ABC相似吗？如果相似，请说明理由.OEDCBAEDCBA(E)DCBA相交线型子母型（三）子母型DCBA如图，若，则△ACD∽△ABC.∠ACD=∠B∠ADC=∠ACBACADACABACACAD2即：DCBA例3如图，∠ABC=∠ACD，AD=8，BD=6，则AC=.例4如图，已知CD是直角△ABC斜边上的高，求证：△ABC∽△ACD∽△CBD.ABCDABCD△ABC∽△ACD△ABC∽△CBD△ACD∽△CBDBCABBDBCACABADACCDADBDCDBDADCD2ABADAC2ABBDBC2射影定理：若CD是Rt△ABC斜边上的高,则：射影图：例5如图，Rt△ABC中，∠CAB=AE⊥BC于点E，BE：EC=1:3，AB=4，求BC的长.090ECBAEDCBA斜交型EDCBA旋转型EDCBA（四）旋转型BCAAEAAD如图，，若，则△AED∽△ABC.∠BAD=∠CAE∠D=∠C∠E=∠B例6如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明△ABC∽△DBEEDCBA4321一、基本图形通常能在复杂图形中辨认出上述基本图形，或能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，就能使问题得以解决.ABCDEABCEDEDCBAEDCBADCBAABCDEDCBA二、判定三角形相似的解题思路根据已知条件，灵活运用相似三角形的六种判定方法解题.1)先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)；2)再找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否成比例(对直角三角形也可看斜边和一组直角边是否成比例)；3)若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例.a)已知一对等角找另一对等角(判定定理3)找夹边成比例(判定定理2)b)己知两边成比例找夹角相等(判定定理2)找第三边也成比例(判定定理1)c)已知一对直角找另一对等角(判定定理3)找两边成比例(判定定理3或4)d)两等腰三角形找顶角或底角相等(判定定理3)找底和腰成比例(判定定理1)e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3三、证明比例式或等积式的方法三点定形法等线代换法等比代换法等积代换法（一）三点定形法即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。（一）三点定形法例1：已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:（判断“横定”还是“竖定”？）例2：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。分析方法：1）先将积式化成______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）（一）三点定形法例3：已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DE·DF。分析方法：1）先将积式化为______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）（一）三点定形法（二）等线代换法遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例4：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．（二）等线代换法（三）等比代换法当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。（三）等比代换法例5：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：．（四）等积代换法思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。（四）等积代换法例6：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝DF·DG．四、相似三角形中的辅助线作平行线作垂线作延长线作中线（一）作平行线例1：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,求BE：EF的值.DABCEFDABCEFn解法1：过点D作CA的平行线交BF于点P，Pn2kkyy4y?y∴BE：EF=5：1.则，1AEDEFEPE,2DCBDPFBP∴PE=EFBP=2PF=4EF，所以BE=5EFDABCEFnn解法2：过点D作BF的平行线交AC于点Q，Q2kk?y2y5yy∴BE：EF=5：1.，则2EADAEFDQ∴,3DCBCDQBF，EFEFEFEFDQEFBFBE563DABCEF解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S，Snn?y5yy2kk2kDABCEFnn2k解法4：过点E作AC的平行线交BC于点T，T2k2ky?y5y，则DCCTDT21∵BD=2DC，∴∴BE：EF=5：1.，DCBT25；TCBTEFBE（二）作垂线例2：如图从平行四边形ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：2ACAFADAEABABCFDEABCFDENMABMACEACABAEAMAMACAEABADNACFACADAFANANACAFAD)(ANAMACANACAMACAFADAEABBCMADN2)(ACCMAMACAFADAEAB证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N∴∽∴∴（1）∽∴∴（2）又∴AN=CM又（1）+（2）∴（三）作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比加以解决。解：延长BA、CD交于点P∵CH⊥AB，CD平分∠BCD∴CB=CP，且BH=PH∵BH=3AH∴PA：AB=1：2∴PA：PB=1：3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC∴：：△△SSPADPBC19∵△△SSPCHPBC12∴：△四边形SSPADAHCD27∵四边形SAHCD21∴△SPAD6SPBC△54∴△△SSHBCPBC1227（四）作中线例4：如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。DCBDBCDBCC1MACDBCBCACDCMC21221BCDCBCMCACAECRtBACRtBCBCCEAC2421ACAC32AC解：取BC的中点M，连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C又BD=DC∴∴∽∴又DC=1MC=BC∴（1）又∽又∵EC=1∴由（1）（2）得，∴（2）∴MACDBC小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键