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学案4基本不等式及应用2ba≤ab返回目录1.如果a，b∈R,那么（当且仅当时取“=”）.2.如果a，b是正数，那么（当且仅当时取“=”）.3.通常把叫做基本不等式.(a＞0,b＞0)a2+b2≥2aba=ba=bab2b+a≥2b+a≤ab返回目录设a，b是正实数，以下不等式：①;②a＞|a-b|-b;③a2+b2＞4ab-3b2;④ab+＞2恒成立的序号为（）A.①③B.①④C.②③D.②④【分析】判断命题是否成立，即判断命题的条件是否成立，所给命题是否与基本不等式不矛盾.考点一基本不等式b+a2ababab2返回目录【解析】∵,∴,∴①不恒成立;∵a，b是正实数，∴a+b＞|a-b|,即a＞|a-b|-b,∴②恒成立;∵a2+4b2≥4ab,∴a2+b2≥4ab-3b2,∴③不恒成立;∵ab+≥2=2＞2,∴④恒成立.故应选D.【评析】应用均值不等式判断命题的真假的关键是看是否符合均值不等式的条件，即a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R,而成立的条件是a＞0且b＞0.ab2b+a≥b+a2ab≥abab2ab2•ab2ab2b+a≥＊对应演练＊若a，b是正数，则这四个数的大小顺序是.(∵a，b是正数，∴而,又a2+b2≥2ab2(a2+b2)≥(a+b)2≥,∴≤，因此.)2ba,ba2ab,ab,2ba22+++2b+a2b+aabb+a2ab22≤≤≤返回目录abab22abb+a2ab≤≤2b+aab≤⇔⇔2b+a222)2b+a(2b+a2b+a222b+a2b+aabb+a2ab22≤≤≤（1）设0＜x＜2,求函数的最大值；（2）求+a的取值范围；（3）已知x＞0,y＞0,且x+y=1，求的最小值.【分析】（1）中3x与8-3x的和为定值8，故可利用均值不等式求解.（2）中和与积都不是定值，但将变形为+（a-4）+4，即可发现×(a-4)=3为定值，但要注意a-4的取值范围.考点二利用基本不等式求最值返回目录)3x-3x(8=y4-a3y2+x8a+4-a34-a34-a3返回目录【解析】（1）∵0＜x＜2,∴0＜3x＜6,8-3x＞2＞0,∴≤,当且仅当3x=8-3x，即x=时,取等号.∴当x=,的最大值是4.)3x-3x(8=y4=28=23x)-(8+3x3434)3x-3x(8=y(2)显然a≠4,当a＞4时，a-4＞0，∴+a=+（a-4）+4≥2+4=2+4,当且仅当=a-4，即a=4+时，取等号；当a＜4时，a-4＜0,∴+a=+(a-4)+4=-〔+(4-a)〕+4≤-2+4=-2+4,当且仅当=4-a，即a=4-3时，取等号.∴+a的取值范围是（-∞,-2+4］∪［2+4,+∞).返回目录4-a34-a34)-(a×4-a334-a334-a34-a3a-434)-(a×a-4334-a3a-4333返回目录(3)∵x＞0,y＞0,且x+y=1，∴=（x+y）=10+≥10+2=18.当且仅当，即x=2y时等号成立，∴当x=，y=时，有最小值18.y2+x8)y2+x8(y2x+x8yy2x+x8yy2x=x8y3231y2x8+返回目录【评析】（1）在利用均值不等式求函数或代数式的最值时，有时不一定恰好能用上均值不等式，因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理，通过凑项的办法（一般是凑和或者积为定值）构造出均值不等式的形式再进行求解.本题第（2）小题中+4虽不是定值，但变形为+（a-4）+4即可发现×(a-4)=3为定值，故可用均值不等式求之.分式函数求最值，通常化成y=mg（x）++B（A＞0,m＞0,g(x)恒正或恒负）的形式，然后运用均值不等式来求最值.4-a34-a34-a3g(x)A（2）第（3）小题要求根据条件求最值，如何合理利用条件x+y=1是解答本题的关键，方法是在式子上乘以（x+y）.利用均值不等式求最值时，要注意三个条件，即：“一正、二定、三相等”，本题常见的误解为：∵x＞0,y＞0,∴=（x+y）≥2·2=16，此法错误的原因是没有考虑等号成立的条件中和x=y同时成立是不可能的.所以在不等式连续放缩的时候,要时刻注意是否在同一条件下进行放缩,放缩时还要注意有目的性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况.在第（2）小题中当a＜4,即a-4＜0时，要用均值不等式必须前面添负号变为正.返回目录y2+x8)y2+x8(xy16xyy2+x8返回目录＊对应演练＊（1）已知x＞0,y＞0,且=1，求x+y的最小值；（2）已知x＜,求函数y=4x-2+的最大值；（3）若x，y∈（0，+∞）且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.（1）∵x＞0,y＞0,=1,∴x+y=(x+y)（）=+10≥6+10=16.当且仅当时,上式等号成立,又=1,∴x=4,y=12时,(x+y)min=16.y9+x1455-4x1y9+x1y9+x1y9x+xyy9x=xyy9+x1（2）∵x＜,∴5-4x＞0,∴y=4x-2+=-（5-4x+）+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.返回目录455-4x14x-514x-51(3)由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy，∴，∴x+y=（x+y）（）=10+=10+2（）≥10+2×2×=18，当且仅当，即x=2y时取等号，又2x+8y-xy=0，∴x=12，y=6，∴当x=12，y=6时，x+y取最小值18.返回目录1=x8+y2y2+x8y2x+x8yyx+x4yyx•x4yyx=x4y返回目录【证明】当且仅当a=b=c=时,取等号.考点三利用基本不等式证明不等式已知a，b，c∈R+,且a+b+c=1，求证：【分析】可进行“1的代换”，为使用基本不等式创造条件.9c1+b1+a1≥9=2+2+2+3)cb+bc(+)ca+ac(+)ba+ab(+3=cc+b+a+bc+b+a+ac+b+a=c1+b1+a1≥31【评析】（1）用好公式≥2(a,b同号).（2）“1”的代换技巧.返回目录ba+ab返回目录＊对应演练＊已知x＞0,y＞0,z＞0.求证：证明：∵x＞0,y＞0,z＞0,∴（当且仅当x=y=z时等号成立）8≥)zy+zx)(yz+yx)(xz+xy(02yz+yx,02≥xz+xyyxzxyz≥02zy+zxzxy≥8.=xyzxy•xz•yz8)zy+zx)(yz+yx)(xz+xy(∴≥某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图5-4-1所示）.如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.考点四利用基本不等式解应用题返回目录返回目录【分析】首先把造价表示为某一变量的函数，再利用基本不等式、函数单调性等知识求出最小值.【解析】设污水处理池的长为xm,则宽为m,再设总造价为y元,则有(1)y=2x×400+×2×400+248×2×+80×200=800x++16000≥2+16000=2×800×18+16000=44800,当且仅当800x=，即x=18m时，y取得最小值.∴当污水池的长为18m，宽为m时总造价最低，为44800元.返回目录x200x200x200x200259x200259800x·x2002599100返回目录（2）∵0＜x≤16,0＜≤16,∴12.5≤x≤16,x≠18,∴不能用基本不等式，但我们可用函数单调性定义证明上述目标函数在区间［12.5,16］上是减函数，从而利用单调性求得最小值.由（1）知，y=φ(x)=800(x+)+16000(12.5≤x≤16).对任意x1,x2∈［12.5,16］,设x1＜x2,则φ(x1)-φ(x2)=800〔(x1-x2)+324()〕x200x32421x1-x10xx324)-x)(xx-800(x=212121返回目录【评析】不等式应用的特点是：（1）问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售、市场信息”等，题目往往篇幅较长.（2）建立函数模型常见的有“正（反）比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数，以及y=ax+（a＞0,b＞0）”等形式.解函数应用题中的最值问题一般利用二次函数的性质或基本不等式来解决.∴φ(x1)＞φ(x2),故y=φ(x)在［12.5,16］上为减函数.从而有φ(x)≥φ(16)=45000,∴当污水池的长度为16m，宽为12.5m时有最低总造价，最低总造价为45000元.xb＊对应演练＊如图5-4-2所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？返回目录返回目录(1)设每间虎笼长为xm,宽为ym,则由条件得4x+6y=36,即2x+3y=18,设每间虎笼面积为S,则S=xy.解法一:由于2x+3y≥2=2,∴2≤18,得xy≤,即S≤，当且仅当2x=3y时,等号成立.2x+3y=18x=4.52x=3y,y=3,故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使每间虎笼面积最大.2x·3y6xy6xy227由解得{{227返回目录解法二:由2x+3y=18,得x=9-y.∵x0,∴0y6,S=xy=(9-y)y=(6-y)·y,∵0y6,∴6-y0,∴S≤·〔〕2=.当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼长4.5m,宽3m时,可使每间虎笼面积最大.2323232272y+y)-(623返回目录(2)由条件知S=xy=24,设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.解法一:∵2x+3y≥2=2=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立,2x=3yx=6xy=24,y=4.故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.2x·3y6xy由解得{{解法二:由xy=24,得x=,∴l=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,当且仅当=y,即y=4时,等号成立,此时x=6.答：每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.返回目录y24y96y16y•y16y16返回目录1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想的应用.2.创设应用基本不等式的条件（1）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值.（2）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.3.最值的求法“和定积最大，积定和最小”即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值.应用此结论需注意以下三点：（1）各项或各因式为正；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式能取得相等的值.必要时作适当变形，以满足上述前提，即一正、二定、三相等.4.基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，如：(a,b∈R).(a＞0,b＞0).返回目录2b+a2b+aa22≤)(≤b22b+a2b+aa22≤≤b