2011届高考数学二轮复习课件6.1 数列的概念与简单表示法

第六编数列§6.1数列的概念与简单表示法要点梳理1.数列的定义按照排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.一定顺序基础知识自主学习2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数无穷数列项数按项与项间的大小关系分类递增数列an+1an其中n∈N*递减数列an+1an常数列an+1=an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列an的符号正负相间，如1，-1，1，-1，…有限无限＞＜3.数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是、和.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.列表法图象法解析法序号nan=f(n).,,.,,,}{.)2(,)1(,,.5nnnnnnnnnaaaaaaannaS则最小若则最大若中数列则已知S1Sn-Sn-1an-1an+1an-1an+1基础自测1.下列对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的序号是（）A.①②③B.②③④C.①③D.①②③④解析由数列与函数的关系知①③对，由数列的分类知②不对，数列的通项公式不是惟一的，④不对.C2.数列1，，…的一个通项公式an是（）A.B.C.D.解析∵1可以写成，∴分母为3，5，7，9，即2n+1,分子可以看为1×3,2×4,3×5,4×6,故为n(n+2)，即.此题也可用排除法求解，只需验证当n=1时，A选项为，B选项为，C选项为，均不为1，故排除A、B、C，从而选D.924,715,58122nn1)2(nnn)1(21)1(2nn12)2(nnn12)2(nnnan312343D333.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则a100等于（）A.1B.-1C.5D.-5解析方法一由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为1，5，4，-1，-5，-4，1，5，4，….由此可得a100=-1.方法二an+2=an+1-an，an+3=an+2-an+1，两式相加可得an+3=-an，an+6=an，∴a100=a16×6+4=a4=-1.B4.若数列{an}的前n项和Sn=n2-1,则a4等于(）A.7B.8C.9D.17解析a4=S4-S3=42-1-（32-1）=7.A5.数列{an}中，，Sn=9，则n=.解析9911nnan.99.91112312nnnnSn,111nnnnan题型一由数列的前几项写数列的通项公式【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1）-1，7，-13，19，…（2）0.8，0.88，0.888，…（3）（4）（5）0，1，0，1，…,6461,3229,1613,85,41,21,179,107,1,23题型分类深度剖析思维启迪先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系.解（1）符号问题可通过（-1）n或（-1）n+1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).（2）将数列变形为).1011(98,),001.01(98),01.01(98),1.01(98nna(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为,原数列可化为∴(4)将数列统一为…对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn=2n+1，对于分母2，5，10，17，…联想到数列1，4，9，16，…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn=n2+1因此可得它的一个通项公式为232.232)1(nnnna,,232,232,232,23244332211,179,107,55,231122nnan（1）由数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求.（2）由数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，得出的结果是不可靠的，要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整..2πcos12)1(1)(1)(0）5（naannannnn或或为偶数为奇数探究提高知能迁移1写出下列各数列的一个通项公式：（1）4，6，8，10，…（2）（3）（4）3，33，333，3333，…解（1）因为各项是从4开始的偶数，所以an=2n+2.（2）由于每一项分子比分母少1，而分母可写为21，22，23，24，25，…，故所求数列的一个通项公式可写为.,3231,1615,87,43,21,1337,1126,917,710,1,32nnna212（3）由于带有正负号，故数列可以用（-1）n+1来调整，而后去掉负号，观察可得.将第二项-1写成.分母可化为3,5,7,9,11,13,…为正奇数，而分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1，…故其一个通项公式可写为（4）将数列各项改写为…，分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，…,所以55.121)1(21nnann,39999,3999,399,39).110(31nna题型二由数列的递推公式求通项an【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式.（1）a1=1，an+1=3an+2；（2）a1=1，an+1=（n+1）an；（3）a1=2，an+1=an+（1）构造等比数列；（2）转化后利用累乘法求解；（3）转化后利用累加法求解.解（1）∵an+1=3an+2，∴an+1+1=3（an+1），∴数列{an+1}为等比数列，公比q=3,又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1，∴an=2·3n-1-1.）1（1lnn思维启迪3111nnaa.！.！123)2()1(,.1,2,3,1,1,)1()2(1122321111nannnnaaaaaanaanaanaaanannnnnnnnnn故累乘可得.2ln,2.ln12ln21ln1ln,12ln,21ln,1ln.1ln)11ln(),11ln()3(111221111naannnnnaaaannaannaannnaanaannnnnnnnnn又探究提高已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an=an-1+m时，构造等差数列；当出现an=xan-1+y时，构造等比数列；当出现an=an-1+f(n)时，用累加法求解；当出现时，用累乘法求解.)(nfaann1知能迁移2根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式.（1）a1=1,an=an-1+3n-1(n≥2);（2）a1=1,an=an-1(n≥2).解（1）∵an=an-1+3n-1(n≥2),∴an-1=an-2+3n-2,an-2=an-3+3n-3,……a2=a1+31.以上（n-1）个式子相加得an=a1+31+32+…+3n-1=1+3+32+…+3n-1=.nn1213n.113221)1(.21,12),2(1）2（1112211nnannaanaaannanannannnnn个式子相乘得以上题型三由Sn与an的关系求通项an【例3】（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n≥2,nN*),a1=,求an.由已知条件可将an=Sn-Sn-1（n≥2)代入等式，得关于Sn与Sn-1的一个等式，经变形推得数列具有等差数列的特征，进而求得Sn，再得an.}1{nS思维启迪21解∵当n≥2,n∈N*时，an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，分又分的等差数列是公差为数列分即8.21,22)1(21,21,216.2}1{4,21111111nSnnSSaSSSSnnnn分时当12.)N,2()1(21)1(21,)1(21)1(212122,N,21*nnnn*nnnnnannnnSSann数列的通项an与前n项和Sn的关系是,此公式经常使用，应引起足够的重视.已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn求an时方法却是高度统一.当n≥2时求出an也适合n=1时的情形,可直接写成an=Sn-Sn-1,否则分段表示.)2()1(11nSSnSannn探究提高知能迁移3已知下列数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式：（1）Sn=2n2-3n；(2)Sn=3n+b.解（1）a1=S1=2-3=-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n2-3n）-［2(n-1)2-3(n-1)］=4n-5，由于a1也适合此等式，∴an=4n-5.（2）a1=S1=3+b,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.当b=-1时，a1适合此等式；当b≠-1时，a1不适合此等式.∴当b=-1时，an=2·3n-1;当b≠-1时，.2,32,1,31nnbann题型四数列的性质【例4】已知数列的通项公式为.（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.（1）令an=0.98,看能否求出正整数n;（2）判断an+1-an的正负.解（1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足=0.98，∴n2=0.98n2+0.98.∵n=7时等式成立，∴0.98是它的项.思维启迪122nnan122nn∴此数列为递增数列.（1）看某数k是否为数列中的项，就是看关于n的方程an=k是否有正整数解.（2）判断数列的单调性就是比较an与an+1的大小..0)1](1)1[(1211)1()1(）2（2222221nnnnnnnaann探究提高知能迁移4已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+24n（n∈N*）.（1）求{an}的通项公式；（2）当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少?解（1）n=1时，a1=S1=23.n≥2时，an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)=-2n+25.经验证，a1=23符合an=-2n+25,∴an=-2n+25（n∈N*）.（2）方法一∵Sn=-n2+24n，∴n=12时，Sn最大且Sn=144.方法二∵an=-2n+25，∴an=-2n+25＞0，有n＜.∴a12＞0，a13＜0，故S12最大，最大值为144.225方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法（对于交错数列一般用（-1）n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号）；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系:an=.)2()1(11nSSnSnn思想方法感悟提高3.已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三种常见思路：（1）算出前几项，再归纳、猜想；（2）“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+=p(an+),由待定系数法求出，再化为等比数列；（3）逐差累加或累乘法.4.创新内容：体现新情境，体现与其它知识的交汇.失误与防范1.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数