千题百炼――高中数学100个热点问题(三)：第66炼 直线与圆位置关系

第九章第66炼直线与圆位置关系解析几何第66炼直线与圆位置关系一、基础知识：1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2、圆的标准方程：设圆心的坐标,Cab，半径为r，则圆的标准方程为：222xaybr3、圆的一般方程：圆方程为220xyDxEyF（1）22,xy的系数相同（2）方程中无xy项（3）对于,,DEF的取值要求：2240DEF4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：①当rd时，直线与圆相交②当rd时，直线与圆相切③当rd时，直线与圆相离（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数。设直线：0AxByC，圆：220xyDxEyF，则：2200AxByCxyDxEyF消去y可得关于x的一元二次方程，考虑其判别式的符号①0，方程组有两组解，所以直线与圆相交②0，方程组有一组解，所以直线与圆相切③0，方程组无解，所以直线与圆相离5、直线与圆相交：弦长计算公式：2222ABAMrd6、直线与圆相切：（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆第九章第66炼直线与圆位置关系解析几何心到切线的距离等于半径例：已知圆的方程为：224xy及圆上一点1,3P，求过P的圆的切线方法一：利用第一条性质：3OPk，所以可得切线斜率33k切线方程为：3313yx，整理后可得：34xy方法二：利用第二条性质：设切线方程l为：31ykx即3kxyk2321Olkdrk整理可得：2232310310kkk解得：33k3:31343lyxxy（2）圆上点的切线结论：①圆222xyr上点00,Pxy处的切线方程为200xxyyr②圆222xaybr上点00,Pxy处的切线方程为200xaxaybybr（3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线）7、与圆相关的最值问题（1）已知圆C及圆外一定点P，设圆C的半径为r则圆上点到P点距离的最小值为PMPCr，最大值为PNPCr（即连结PC并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点MCNP第九章第66炼直线与圆位置关系解析几何（2）已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为222ABrd，若AB最小，则d要取最大，在圆中CP为定值，在弦绕P旋转的过程中，dCP，所以dCP时，AB最小（3）已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为ClPMdr，距离的最大值为ClPNdr（过圆心C作l的垂线，垂足为P，CP与圆C交于M，其反向延长线交圆C于N（4）已知圆C和圆外的一条直线l，则过直线l上的点作圆的切线，切线长的最小值为PM解：22PMCPr，则若PM最小，则只需CP最小即可，所以P点为过C作l垂线的垂足时，CP最小过P作圆的切线，则切线长PM最短8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含（1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆12,OO的半径为12,rr，12OOd①12drr12,OO外离②12drr12,OO外切③1212rrdrr12,OO相交④12drr12,OO内切⑤12drr12,OO内含（2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点的个数。例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定。CPABlMCPNlCPM第九章第66炼直线与圆位置关系解析几何二、典型例题：例1：已知直线20axy与圆心为C的圆2214xya相交于,AB两点，且ABC为等边三角形，则实数a（）A.33B.13C.1或7D.415思路：因为ABC为等边三角形且C为圆心，所以该三角形的边长为2，由等边三角形的性质可知高为3，即C到AB的距离为3，由圆方程可得：1,Ca，所以利用点到直线距离公式可得：2222322311CABaadaaa，解得：415a答案：D例2：圆心在曲线20yxx上，且与直线210xy相切的面积最小的圆的方程为（）A.22125xyB.22215xyC.221225xyD.222125xy思路：不妨设圆心2,aa，其中0a，半径为r，因为直线与圆相切，所以有2215aadr，若圆的面积最小，则半径最小，则221122155aaraa1122155aa，即min5r，此时1a，所以圆方程为：22125xy答案：A例3：设点,1Mm，若在圆22:1Oxy上存在点N，使得30OMN，则m的取值范围是（）A.3,3B.11,22C.2,2D.33,33思路：由圆的性质可知：圆上一点T，与,MO所组成的角OMT，当MT与圆相切时，第九章第66炼直线与圆位置关系解析几何OMT最大。所以若圆上存在点N，使得30OMN，则30OMT。由,1Mm和221xy可知过M且与圆相切的一条直线为1y，切点0,1T，所以在直角三角形OMT中，3tan3OTOMTTM，从而333TMm答案：A例4：设,mnR，若直线1120mxny与圆22111xy相切，则mn的取值范围是（）A.13,13B.,1313,C.222,222D.,222222,思路：通过圆方程可知圆心1,1C，半径1r，因为直线与圆相切，所以2222211111Clmndmnmnmn，整理后可得：1mnmn，即11mnm，所以121211mmnmmmm，进而由“对勾函数“性质可知,222222,mn答案：D小炼有话说：本题由于mR，所以对于2121mm不能使用均值不等式，而要通过换元转换为常见函数求得值域例5：若圆2244100xyxy上至少有三个不同的点到直线:lykx的距离为22，则直线l斜率的取值范围是___________思路：本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与k找到联系。通过图像可知该条件与圆心到直线的距离相关。圆方程为：222218xy，即圆心为2,2，半径32r，作出图像可知若至少有三个不同的点到直线l距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，所以22221Clkdk，即解不等式：222221kk，解得：23,23k第九章第66炼直线与圆位置关系解析几何答案：23,23例6：直线yxm与圆2216xy交于不同的两点,MN，且3MNOMON，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是（）A.22,22,22B.42,2222,42C.2,2D.22,22思路：不妨设MN的中点为A，则可知2OMONOA，从而23MNOA，在圆2216xy中，可知OA为圆心O到MN的距离，即弦心距。由圆中弦，半径，弦心距的关系可得：2221162MNOAr，代入23MNOA可得：22316OAOA，解得：2OA，即22OMNmd，所以22,22m答案：D例7：在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:32Cxy，点A是x轴上的一个动点，,APAQ分别切圆C于,PQ两点，则线段PQ的取值范围是（）A.14,23B.214,223C.14,23D.214,223思路：如图设,ACPQ交于M，则有2PQPM，只需确认PM的范围即可，由圆方程可得2r，设PCM，所以sin2sinPMPC，在RtPCA中，可得：2222sin1ACrAPACACAC，所以PM2221AC，下面确定2AC的范围。设,0Ax，因为0,3C，所以2299,ACx，从而解得14,23PM。则第九章第66炼直线与圆位置关系解析几何2142,223PQPM答案：B例8：已知圆22:cossin1Mxy，直线:lykx下面四个命题：（1）对任意实数k与，直线l和圆M相切；（2）对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；（3）对任意实数，必存在实数k，使得直线l和圆M相切;（4）对任意实数k，必存在实数，使得直线l和圆M相切.其中真命题的代号是______________思路一（代数运算）：四个命题均和直线与圆位置关系相关，所以考虑圆心到直线的距离和半径的大小关系：由圆M方程可知圆心cos,sinM，半径为1，所以2cossin1Mlkdk，为了便于计算，不妨比较2Mld与1的大小关系，从而有：222222222cossin1cos2sincossin1111Mlkkkkkdkk2222221cos2sincos1sinsincos011kkkkk所以对任意的实数,k，直线l和圆M有公共点，但不一定相切。故（1）错误（2）正确；（3）（4）与相切有关，所以考虑21Mld，由上式可得：sincosk①，从而可得，对于任意的实数，不一定会存在k，使得等式成立。例如sin0时，①不成立；但对于任意的k，总有cos1sintank，使得①成立，即直线与圆相切。所以（3）错误，（4）正确，综上所述，正确的是（2）（4）思路二（数形结合）：通过观察cos,sinM，可知M为单位圆上的点。则必有1OM，又因为M的半径为1，所以可得M过原点。而直线:lykx过定点0,0，所以直线与圆必有公共点。（2）正确。因为0,0在圆上，所以可知若直线与圆相切，则原点为切点，故切线也只有一条。所以（1）错误。对于（3）（4），通过前面的结论可知对于任意的一个圆M，均可过原点作出圆的切线。另一方面通过切线也可确定圆心。所以（4）第九章第66炼直线与圆位置关系解析几何正确。而（3）忽略了一种情况，当圆心M位于x轴上时，此时切线为y轴，虽有切线但斜率不存在，所以不能表示为ykx的形式。所以（3）错误答案：（2）（4）例9：:设)1,0(),0,1(BA，直线,:axyl圆1:22yaxC.若圆C既与线段AB又与直线l有公共点，则实数a的取值范围是．思路：本题a的取值范围为两个条件的交集。先处理圆C与l有公共点：由圆方程可知圆的圆心为,0a，半径1r，若圆与直线有公共点，则2422111Cladaaa，解得：2150,2a，所以1515,22a。另一方面，考虑圆C与AB