千题百炼――高中数学100个热点问题(三)：第67炼 圆锥曲线的性质

第九章第67炼圆锥曲线的性质解析几何第67炼圆锥曲线的性质一、基础知识（一）椭圆：1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点12,FF的距离和为定值（定值大于12FF）的点的轨迹称为椭圆，其中12,FF称为椭圆的焦点，12FF称为椭圆的焦距（2）标准方程：①焦点在x轴上的椭圆：设椭圆上一点,Pxy，12,0,,0FcFc，设距离和122PFPFa，则椭圆的标准方程为：22221xyab，其中2220,abbac②焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点,Pxy，120,,0,FcFc，设距离和122PFPFa，则椭圆的标准方程为：22221yxab，其中2220,abbac焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例：222210xyabab（1）a：与长轴的顶点有关：12,0,,0AaAa，122AAa称为长轴长b：与短轴的顶点有关：120,,0,BbBb，122BBb称为短轴长c：与焦点有关：12,0,,0FcFc，122FFc称为焦距（2）对称性：椭圆关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设00,Pxy，则00,axabyb（4）通径：焦点弦长的最小值①焦点弦：椭圆中过焦点的弦②过焦点且与长轴垂直的弦22bPQa说明：假设PQ过1,0Fc，且与长轴垂直，则00,,,PcyQcy，所以第九章第67炼圆锥曲线的性质解析几何2242002221cybyaba，可得20bya。则22bPQa（5）离心率：cea，因为ca，所以0,1e（6）焦半径公式：称P到焦点的距离为椭圆的焦半径①设椭圆上一点00,Pxy，则1020,PFaexPFaex（可记为“左加右减”）②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为ac，最小值为ac（7）焦点三角形面积：122tan2PFFSb（其中12PFF）证明：1212121sin2PFFSPFPFFPF且222121212122cosFFPFPFPFPFFPF212121221cosPFPFPFPFFPF2212124421coscaPFPFFPF2221212122221cos1cosacbPFPFFPFFPF12212121212112sinsin221cosPFFbSPFPFFPFFPFPFF22121212sintan1cos2FPFFPFbbFPF因为1200122PFFScycy，所以2120tan2FPFbcy，由此得到的推论：①12FPF的大小与0y之间可相互求出②12FPF的最大值：12FPF最大12PFFS最大0y最大P为短轴顶点（二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点12,FF距离差的绝对值为一个常数（小于12FF）的点的轨迹称为双曲线，其中12,FF称为椭圆的焦点，12FF称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,FF距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程：第九章第67炼圆锥曲线的性质解析几何①焦点在x轴：设双曲线上一点,Pxy，12,0,,0FcFc，设距离差的绝对值122PFPFa，则双曲线标准方程为：22221xyab，其中2220,0,abbca②焦点在y轴：设双曲线上一点,Pxy，120,,0,FcFc，设距离差的绝对值122PFPFa，则双曲线标准方程为：22221yxab，其中2220,0,abbca焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数2、双曲线的性质：以焦点在x轴的双曲线为例：222210,0xyabab（1）a：与实轴的顶点有关：12,0,,0AaAa，122AAa称为实轴长b：与虚轴的顶点有关：120,,0,BbBb，122BBb称为虚轴长c：与焦点有关：12,0,,0FcFc，122FFc称为焦距（2）对称性：双曲线关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称（3）双曲线上点坐标的范围：设00,Pxy，则有0xa或0xa，0yR（4）离心率：cea，因为ca，所以1,e（5）渐近线：当x或x时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出y关于x的直线即可。例如在222210,0xyabab中，求渐近线即解：22220xyab，变形为byxa，所以byxa即为双曲线的渐近线②渐近线的几何特点：直线,,,xaxaybyb所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线③渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现,,abc的关系。（6）通径：①内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段第九章第67炼圆锥曲线的性质解析几何②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQx轴，22bPQa（7）焦半径公式：设双曲线上一点00,Pxy，左右焦点分别为12,FF，则①1020,PFaexPFaex（可记为“左加右减”）②由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为ca（8）焦点三角形面积：设双曲线上一点00,Pxy，则122cot2PFFSb（其中12PFF）（三）抛物线：1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线2、抛物线的标准方程及焦点位置：（1）焦点在x轴正半轴：220ypxp，焦点坐标,02p（2）焦点在x轴负半轴：220ypxp，焦点坐标,02p（3）焦点在y轴正半轴：220xpyp，焦点坐标0,2p（4）焦点在y轴负半轴：220xpyp，焦点坐标0,2p小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：24xy，则焦点在y轴上，且坐标为0,13、焦半径公式：设抛物线220ypxp的焦点为F，,Axy，则2pAFx4、焦点弦长：设过抛物线220ypxp焦点的直线与抛物线交于1122,,,AxyBxy，则12ABxxp（ABAFBF，再由焦半径公式即可得到）二、典型例题：例1：已知双曲线22214xyb的右焦点与抛物线212yx的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）第九章第67炼圆锥曲线的性质解析几何A.5B.42C.3D.5思路：先从常系数方程入手，抛物线212yx的焦点为3,0，即双曲线中的3c，所以2225bca，从而双曲线方程为：22145xy，其渐近线方程：52yx，由对称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择:520lxy，右焦点23,0F，所以22235552Fld答案：A小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而解出其他圆锥曲线的要素答案：A例2：已知双曲线222210,0xyabab的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线220xpyp的焦点重合，直线1ykx与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p（）A.4B.3C.2D.1思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以p作为核心变量，抛物线22xpy的焦点为0,2p，所以可得2pb，因为24222aa，所以双曲线方程为222418xyp，可求得渐近线方程为42pyx，不妨设1ykx与42pyx平行，则有42pk。从相切可想到与抛物线联立消元后的方程0：22212042222pyxpxxpxpy，所以第九章第67炼圆锥曲线的性质解析几何28022pp解得4p答案：A例3：如图，12,FF是椭圆22122:10xyCmnmn与双曲线22222:10,0xyCabab的公共焦点，将12,CC的离心率分别记为12,ee，点A是12,CC在第一象限的公共点，若2C的一条渐近线是线段1AF的中垂线，则221211ee（）A.2B.52C.72D.4思路：椭圆与双曲线共焦点，所以有22222cmnab，所求表达式2222222221211mamaeeccc，本题与焦半径相关，所以考虑12122,2AFAFmAFAFa。结合1AF的中点与12FF的中点可得双曲线的渐近线与2AF平行，从而12AFAF，所以有222212124AFAFFFc，联系上面条件可得：222222212121214222cAFAFAFAFAFAFma，所以2222212112maeec答案：A例4：已知椭圆22122:10xyCabab与双曲线222:14yCx有公共的焦点，2C的一条渐近线与以1C的长轴为直径的圆相交于,AB两点，若1C恰好将线段AB三等分，则（）A.2132aB.213aC.212bD.22b思路：因为12,CC有公共焦点，所以通过2C可得125,0,5,0FF，从而5c，圆第九章第67炼圆锥曲线的性质解析几何的直径为2a，所以AB截椭圆的弦长为23a。由双曲线得:2AByx，进而与椭圆方程联立，再利用弦长公式即可得到关于a（或b）的方程，解方程即可解：通过2C可得125,0,5,0FF，5c不妨设:2AByx，则2222222222242bxayababxabyx，所以224abxab利用弦长公式可得212222521234abdxxaab又因为2225abc2222252345abaabab解得：2211212ab，故选C答案：C例5：（2014，山东，10）已知0ab，椭圆1C的方程为22221xyab，双曲线2C的方程是22221xyab，1C与2C的离心率之积为32，则2C的渐近线方程为（）A.20xyB.20xyC.20xyD.20xy思路：要想求渐近线方程，关键在,ab的比值，所以将两个离心率均用,ab表示，再利用乘积为32即可得到,ab关系，进而求出渐近线方程解：设曲线12,CC的离心率分别为12,ee，则222212,cabcabeeaaaa22224412232abababeeaaa即144444431124442abbbaaa因为双曲线的渐近线方程为：byxa，代入可得：2202yxxy答案：A第九章第67炼圆锥曲线的性质解析几何小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中c的求法不同，从而使得两条曲线在,ab相同的情况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特点，从而简化运算，较易得出,ab关系例6：椭圆222210xymnmn和双曲线222210xyabab的公共焦点为12,FF，P是两曲线的一个交点，那么12PFPF的值是（）A.maB.22maC.2maD.ma思路：所求12,PFPF既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义可得：122PFPFa，12