千题百炼――高中数学100个热点问题(三)：第70炼 求点的轨迹方程

第九章第70炼求点的轨迹问题解析几何第70炼求点的轨迹问题一、基础知识：1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为,xy，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,xy的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,xy的范围2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,xy的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点,Pxy与某已知曲线00,0Fxy上一点00,Qxy存在某种关系，则可根据条件用,xy表示出00,xy，然后代入到Q所在曲线方程中，即可得到关于,xy的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若ABAC，则A点在以BC为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标,ab，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p。若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,xy的联系，但可通过一辅助变量k，分别找到,xy与第九章第70炼求点的轨迹问题解析几何k的联系，从而得到,xy和k的方程：xfkygk，即曲线的参数方程，消去参数k后即可得到轨迹方程。二、典型例题：例1：设一动点P到直线:3lx的距离到它到点1,0A的距离之比为33，则动点P的轨迹方程是（）A.22132xyB.22132xyC.224136xyD.22123xy思路：设,Pxy，则可直接利用已知条件列出关于,xy的等式，化简即可解：设,Pxy223331PlxdPAxy223331xxy222331xxy2221626xxy22224246136xyxy答案：C例2：已知两定点的坐标分别为1,0,2,0AB，动点满足条件2MBAMAB，则动点M的轨迹方程为___________思路：通过作图可得2MBAMAB等价的条件为直线,MAMB的斜率的关系，设MAB，则2MBA，则可通过,MAMB的斜率关系得到动点M的方程解：若M在x轴上方，则tan,tan2MAMBkk221MAMBMAkkk,12MAMByykkxx代入可得：第九章第70炼求点的轨迹问题解析几何22122211yyxxyx，化简可得：2233xy即2213yx若M在x轴下方，则tan,tan2MAMBkk，同理可得：2213yx当22时，即MAB为等腰直角三角形，2,3M或2,3M满足上述方程所以当x在一四象限时，轨迹方程为22113yxx当M在线段AB上时，同样满足20MBAMAB，所以线段AB的方程012yx也为M的轨迹方程综上所述：M的轨迹方程为22113yxx或012yx答案：22113yxx或012yx例3：已知F是抛物线24xy的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点M的轨迹方程是（）A.212xyB.21216xyC.222xyD.221xy思路：依题意可得0,1F，,Mxy，00,Pxy，则有0000221212xxxxyyyy，因为00,Pxy自身有轨迹方程，为：2004xy，将00221xxyy代入可得关于,xy的方程，即M的轨迹方程：22242121xyxy答案：D例4：已知F是抛物线24yx上的焦点，P是抛物线上的一个动点，若动点M满足第九章第70炼求点的轨迹问题解析几何2FPFM，则M的轨迹方程是__________思路：考虑设00,,,MxyPxy，由抛物线24yx可得：1,0F，且2004yx，故考虑利用向量关系得到,xy与00,xy的关系，从而利用代入法将00,xy用,xy进行表示，代入到2004yx即可解：由抛物线24yx可得：1,0F设00,,,MxyPxy001,,1,FPxyFMxy2FPFM00002112122xxxxyyyy①P在24yx上2004yx，将①代入可得：22421yx，即221yx答案：221yx例5：在平面直角坐标系xOy中，直线44xtt与椭圆221169xy交于两点1122,,,PtyPty，且120,0yy，12,AA分别为椭圆的左，右顶点，则直线12AP与21AP的交点所在曲线方程为________思路：由椭圆可得：124,0,4,0AA，从而可确定线12AP与21AP的方程。211221:4,:444yyAPyxAPyxtt，若联立方程解,xy，则形式较为复杂不易化简，观察两条直线方程的特点，可发现若两边相乘，有平方差的特点，且xt与椭圆相交，则12,PP关于x轴对称，有21yy。所以两方程左右两边分别相乘可得：22212416yyxt，再利用11,Pty满足椭圆方程，消去等式中的1,ty即可解：由椭圆可知：124,0,4,0AA，设交点坐标,xy。xt与椭圆相交于12,PP12,PP关于x轴对称21yy第九章第70炼求点的轨迹问题解析几何考虑直线12AP与21AP的方程：由1214,0,,APty可得：1214APykt112:44yAPyxt①同理可得：121:44yAPyxt②①②可得：222121616yyxt③由11,Pty在椭圆上可得：222211911616916tyyt，代入③可得：2222916161616tyxt，整理后可得：221169xy答案：221169xy小炼有话说：本题消元的方法比较特殊，是抓住了两直线中某些地方具备平方差公式的特点，从而两式相乘，再进行代入消元。例6：若动圆过定点3,0A且和定圆22:34Cxy外切，则动圆圆心P的轨迹方程是___________思路：定圆的圆心为3,0C，观察到恰好与3,0A关于原点对称，所以考虑P点轨迹是否为椭圆或双曲线，设动圆P的半径为r，则有PAr，由两圆外切可得2PCr，所以2PCPA，即距离差为定值，所以判断出P的轨迹为双曲线的左支，则1,3ac，解得2228bca，所以轨迹方程为22118yxx答案：22118yxx小炼有话说：本题从所给条件中的对称定点出发，先作一个预判，从而便可去寻找符合定第九章第70炼求点的轨迹问题解析几何义的要素，即线段的和或差。要注意本题中PCPA，所以轨迹为双曲线的一支。例7：是圆22125xy的圆心为C，1,0A是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）A.224412125xyB.224412125xyC.224412521xyD.224412521xy思路：可得1,0C，发现刚好与1,0A均在x轴上且关于原点对称，从而联想到双曲线或椭圆的焦点，观察几何性质可得：由AQ的中垂线可得AMQM，从而考虑5CMAMCMQMCQr，即M到,AC的距离和为定值5，从而判断出其轨迹为椭圆，可得525,12aac，则222214bac，所以椭圆方程为：224412521xy答案：C例8：已知直线ykxm与抛物线22yx交于,AB两点，且OAOBOAOB，其中O为坐标原点，若OMAB于M，则点M的轨迹方程为（）A.222xyB.2211xyC.2211xyD.2214xy思路：先处理条件OAOBOAOB可得由,OAOB为邻边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形。即OAOB，设1122,,,AxyBxy，即12120xxyy，联立直线与抛物线方程并利用韦达定理可得2mk，从而可得直线过定点2,0，结合图像性质可得OMAB，则M的轨迹为以OC为直径的圆，轨迹方程为2211xy解：OAOBOAOB，且,OAOBOAOB为,OAOB为邻边的平行四边形对角线该四边形为矩形，即OAOB第九章第70炼求点的轨迹问题解析几何设1122,,,AxyBxy，12120OAOBxxyy联立方程：22ykxmyx，消去x可得：222202kyymkyym122myyk222121224yymxxk2220mmkk，由0km可得2mk:22lykxmkxkkx，即直线过定点2,0COMAB即OMCMM的轨迹为以OC为直径的圆则该圆的圆心为1,0，半径1r轨迹方程为2211xy答案：B例9：过点6,0M作圆22:6490Cxyxy的割线，交圆C于,AB两点，在线段AB上取一点Q，使得112MAMBMQ，求点Q的轨迹解：设点1122,,,,,AxyBxyQxy，直线AB的斜率为k2221216,16,16MAkxMBkxMQkx由112MAMBMQ可得：22212112161616kxkxkx12112666xxx1212121226366xxxxxxx①，联立方程：2266490ykxxyxy，消去x可得：222212623312830kxkkxkk22121222262331283,11kkkkxxxxkk代入①可得：第九章第70炼求点的轨迹问题解析几何22222226231221631283262363611kkkxkkkkkk即4182816kx，而6MQykkx代入可得：41826816yxx化简可得：92270xy，因为Q在圆内所以点Q的轨迹是直线92270xy被圆截得的弦例10：如图所示，点N在圆224xy上运动，DNx轴，点M在DN的延长线上，且0DMDN（1）求点M的轨迹方恒，并求当为何值时，M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆（2）当12时，在（1）中所得曲线记为C，已知直线:12xly，P是l上的动点，射线OP（O为坐标原点）交曲线C于点R，又点Q在OP上且满足2OQOPOR，求点Q的轨迹方程解：（1）思路：N自身有轨迹方程，且条件中所求的点M与点N存在联系（DMDN），所以考虑利用代入法求轨迹方程。设00,,,MxyNxy，然后利用向量关系找到M的坐标与N坐标的联系001xxyy，从而代入到N所在的